Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $BCD$ vuông tại $C,AB$ vuông góc với mặt phẳng $\left( BCD \right);AB=5a;BC=3a;CD=4a.$ Tính bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện $ABCD$.
A. $R=\dfrac{5a\sqrt{2}}{3}$
B. $R=\dfrac{5a\sqrt{2}}{2}$
C. $R=\dfrac{5a\sqrt{3}}{2}$
D. $R=\dfrac{5a\sqrt{3}}{3}$
A. $R=\dfrac{5a\sqrt{2}}{3}$
B. $R=\dfrac{5a\sqrt{2}}{2}$
C. $R=\dfrac{5a\sqrt{3}}{2}$
D. $R=\dfrac{5a\sqrt{3}}{3}$
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có cạnh bên vuông góc với đáy là $R=\sqrt{\dfrac{{{h}^{2}}}{4}+R_{day}^{2}}$ trong đó $h$ là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy và ${{R}_{day}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp.
Cách giải:
Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ có $BD=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}+{{\left( 4a \right)}^{2}}}=5a.$
Vì $\Delta BCD$ vuông tại $C$ nên bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD$ là ${{R}_{day}}=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{5a}{2}.$
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ là $R=\sqrt{\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}+R_{day}^{2}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( 5a \right)}^{2}}}{4}+{{\left( \dfrac{5a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{5a\sqrt{2}}{2}.$
Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có cạnh bên vuông góc với đáy là $R=\sqrt{\dfrac{{{h}^{2}}}{4}+R_{day}^{2}}$ trong đó $h$ là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy và ${{R}_{day}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp.
Cách giải:
Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ có $BD=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}+{{\left( 4a \right)}^{2}}}=5a.$
Vì $\Delta BCD$ vuông tại $C$ nên bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD$ là ${{R}_{day}}=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{5a}{2}.$
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ là $R=\sqrt{\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}+R_{day}^{2}}=\sqrt{\dfrac{{{\left( 5a \right)}^{2}}}{4}+{{\left( \dfrac{5a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{5a\sqrt{2}}{2}.$
Đáp án B.