Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $a$ và tam giác...

Theo giả thiết ta có góc giữa hai mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và $\left(BCD\right)$ bằng ${30}^0$. Suy ra góc giữa $MA$ và $MD$ bằng ${30}^0$. Kẻ $GN//CD$ và nối $AN$.
Vì $AD>AB>AM$ nên góc giữa $MA,MD$ bằng ${150}^0$.
Góc $\widehat{DMA}={150}^0$. Ta có:
$MD=\sqrt{D{C}^2-M{C}^2}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}}=a\Rightarrow MG={\displaystyle \frac{a}{3}}$.
Tam giác $ABC$ đều nên $AM={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$.
Áp dụng định lí Côsin trong $\mathrm{\Delta }AMG$ ta có: $AG={\displaystyle \frac{7a}{6}},GN={\displaystyle \frac{CD}{3}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{6}}$.
Trong $\mathrm{\Delta }ANC$ có $AN={\displaystyle \frac{a\sqrt{7}}{3}}$. Trong $\mathrm{\Delta }ANG$ có $\cos \widehat{AGN}={\displaystyle \frac{A{G}^2+G{N}^2-A{N}^2}{2AG.GN}}={\displaystyle \frac{13}{7\sqrt{5}}}=$.
Gọi góc $(AG;CD)=\alpha$ thì ta có $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{13}{7\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{13\sqrt{5}}{35}}$.