Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $a$ và tam giác $BCD$ cân tại $D$ với $DC=\dfrac{a\sqrt{5}}{2},AD>AB$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, khi đó côsin góc giữa hai đường thẳng $AG,CD$ bằng bao nhiêu biết rằng góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( BCD \right)$ bằng ${{30}^{0}}$
A. $\dfrac{-13\sqrt{5}}{35}.$
B. $\dfrac{\sqrt{65}}{13}.$
C. $\dfrac{-\sqrt{65}}{13}.$
D. $\dfrac{13\sqrt{5}}{35}.$
Theo giả thiết ta có góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( BCD \right)$ bằng ${{30}^{0}}$. Suy ra góc giữa $MA$ và $MD$ bằng ${{30}^{0}}$. Kẻ $GN//CD$ và nối $AN$.
Vì $AD>AB>AM$ nên góc giữa $MA,MD$ bằng ${{150}^{0}}$.
Góc $\widehat{DMA}={{150}^{0}}$. Ta có:
$MD=\sqrt{D{{C}^{2}}-M{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=a\Rightarrow MG=\dfrac{a}{3}$.
Tam giác $ABC$ đều nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Áp dụng định lí Côsin trong $\Delta AMG$ ta có: $AG=\dfrac{7a}{6},GN=\dfrac{CD}{3}=\dfrac{a\sqrt{5}}{6}$.
Trong $\Delta ANC$ có $AN=\dfrac{a\sqrt{7}}{3}$. Trong $\Delta ANG$ có $\cos \widehat{AGN}=\dfrac{A{{G}^{2}}+G{{N}^{2}}-A{{N}^{2}}}{2AG.GN}=\dfrac{13}{7\sqrt{5}}=$.
Gọi góc $\left( AG;CD \right)=\alpha $ thì ta có $\cos \alpha =\dfrac{13}{7\sqrt{5}}=\dfrac{13\sqrt{5}}{35}$.
A. $\dfrac{-13\sqrt{5}}{35}.$
B. $\dfrac{\sqrt{65}}{13}.$
C. $\dfrac{-\sqrt{65}}{13}.$
D. $\dfrac{13\sqrt{5}}{35}.$
Vì $AD>AB>AM$ nên góc giữa $MA,MD$ bằng ${{150}^{0}}$.
Góc $\widehat{DMA}={{150}^{0}}$. Ta có:
$MD=\sqrt{D{{C}^{2}}-M{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=a\Rightarrow MG=\dfrac{a}{3}$.
Tam giác $ABC$ đều nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Áp dụng định lí Côsin trong $\Delta AMG$ ta có: $AG=\dfrac{7a}{6},GN=\dfrac{CD}{3}=\dfrac{a\sqrt{5}}{6}$.
Trong $\Delta ANC$ có $AN=\dfrac{a\sqrt{7}}{3}$. Trong $\Delta ANG$ có $\cos \widehat{AGN}=\dfrac{A{{G}^{2}}+G{{N}^{2}}-A{{N}^{2}}}{2AG.GN}=\dfrac{13}{7\sqrt{5}}=$.
Gọi góc $\left( AG;CD \right)=\alpha $ thì ta có $\cos \alpha =\dfrac{13}{7\sqrt{5}}=\dfrac{13\sqrt{5}}{35}$.
Đáp án D.