Cho tứ diện $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $a,\left( S \right)$ là mặt tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện $ABCD.M$ là một điểm thay đổi trên $\left( S...

Gọi I là tâm mặt cầu (S) thì I là tâm của tứ diện ABCD.
Gọi N là trung điểm của CD, O là tâm của tam giác BCD.
Ta có:
$\begin{aligned}
& BO=\dfrac{2}{3}BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{3},ON=\dfrac{1}{3}BN=\dfrac{a\sqrt{3}}{6} \\
& AO=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{O}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3} \\
& AI=\dfrac{3}{4}AO=\dfrac{a\sqrt{6}}{4},OI=\dfrac{1}{4}AO=\dfrac{a\sqrt{6}}{12} \\
& IN=\sqrt{O{{I}^{2}}+O{{N}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4} \\
\end{aligned}$
Bán kính mặt cầu là $R=IN=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$
$\begin{aligned}
& T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}={{(\overrightarrow{IM}-\overrightarrow{IA})}^{2}}+{{(\overrightarrow{IM}-\overrightarrow{IB})}^{2}}+{{(\overrightarrow{IM}-\overrightarrow{IC})}^{2}}+{{(\overrightarrow{IM}-\overrightarrow{ID})}^{2}} \\
& =4{{\overrightarrow{IM}}^{2}}-2\overrightarrow{IM}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})+({{\overrightarrow{IA}}^{2}}+{{\overrightarrow{IB}}^{2}}+{{\overrightarrow{IC}}^{2}}+{{\overrightarrow{ID}}^{2}}) \\
& =4{{R}^{2}}+4I{{A}^{2}} \\
& =2{{a}^{2}} \\
\end{aligned}$
Vậy $T=2{{a}^{2}}$