Cho tứ diện $A B C D$ có độ dài cạnh bằng $a, (S)$ là mặt tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện $A B C D . M$ là một điểm thay đổi trên $\left( S...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho tứ diện

A B C D

có độ dài cạnh bằng

a, (S)

là mặt tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện

A B C D . M

là một điểm thay đổi trên

(S) .

Tính tổng

T = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2} .

A.

4 a^{3}

.
B.

2 a^{3}

.
C.

\frac{3 a^{2}}{8}

.
D.

a^{2}

.

Gọi I là tâm mặt cầu (S) thì I là tâm của tứ diện ABCD.
Gọi N là trung điểm của CD, O là tâm của tam giác BCD.
Ta có:

\begin{aligned} B O = \frac{2}{3} B N = \frac{a \sqrt{3}}{3}, O N = \frac{1}{3} B N = \frac{a \sqrt{3}}{6} \\ A O = \sqrt{A B^{2} - B O^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3} \\ A I = \frac{3}{4} A O = \frac{a \sqrt{6}}{4}, O I = \frac{1}{4} A O = \frac{a \sqrt{6}}{12} \\ I N = \sqrt{O I^{2} + O N^{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{4} \end{aligned}

Bán kính mặt cầu là

R = I N = \frac{a \sqrt{2}}{4}

\begin{aligned} T = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2} = {(\vec{I M} - \vec{I A})}^{2} + {(\vec{I M} - \vec{I B})}^{2} + {(\vec{I M} - \vec{I C})}^{2} + {(\vec{I M} - \vec{I D})}^{2} \\ = 4 {\vec{I M}}^{2} - 2 \vec{I M} (\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D}) + ({\vec{I A}}^{2} + {\vec{I B}}^{2} + {\vec{I C}}^{2} + {\vec{I D}}^{2}) \\ = 4 R^{2} + 4 I A^{2} \\ = 2 a^{2} \end{aligned}

Vậy

T = 2 a^{2}

Đáp án B.

Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh bằng a,(S) là mặt tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện ABCD.M là một điểm thay đổi trên $\left( S...