Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có $CD=a\sqrt{2},$ tam giác x $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,$ tam giác $ACD$ vuông tại $A.$ Mặt phẳng $\left( BCD \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABD \right).$ Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ bằng?
A. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$.
D. $4\pi {{a}^{3}}$.
Ta có tam giác $ACD$ vuông tại $A,AC=a,CD=a\sqrt{2}\Rightarrow AD=a.$
Vì $AB=AC=AD=a$ nên $A$ cách đều 3 đỉnh $B,C,D.$ (1)
Ta lại có tam giác $ABD$ cân tại $A.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BD.$ Thì $AM\bot BD.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
\left( BCD \right)\bot \left( ABD \right) \\
\begin{matrix}
\begin{aligned}
& \left( BCD \right)\cap \left( ABD \right)=BD \\
& AM\subset \left( ABD \right) \\
\end{aligned} \\
AM\bot BD \\
\end{matrix} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow AM\bot \left( BCD \right). (2)$
Từ (1), (2) suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ nằm trên đường thẳng $AM.$ Thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD.$
Lấy $N$ là trung điểm của $BC.$ Thì $AM\bot MN;MN=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Mà $AN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AM=\dfrac{a}{2}.$
Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ là $R=\dfrac{AD}{2\sin ABD}=\dfrac{AD}{2\dfrac{AM}{AB}}=\dfrac{AB.AD}{2AM}=a.$
Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện giác $ABCD$ là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}.$
A. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}$.
D. $4\pi {{a}^{3}}$.
Ta có tam giác $ACD$ vuông tại $A,AC=a,CD=a\sqrt{2}\Rightarrow AD=a.$
Vì $AB=AC=AD=a$ nên $A$ cách đều 3 đỉnh $B,C,D.$ (1)
Ta lại có tam giác $ABD$ cân tại $A.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BD.$ Thì $AM\bot BD.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix}
\left( BCD \right)\bot \left( ABD \right) \\
\begin{matrix}
\begin{aligned}
& \left( BCD \right)\cap \left( ABD \right)=BD \\
& AM\subset \left( ABD \right) \\
\end{aligned} \\
AM\bot BD \\
\end{matrix} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow AM\bot \left( BCD \right). (2)$
Từ (1), (2) suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ nằm trên đường thẳng $AM.$ Thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD.$
Lấy $N$ là trung điểm của $BC.$ Thì $AM\bot MN;MN=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Mà $AN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AM=\dfrac{a}{2}.$
Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ là $R=\dfrac{AD}{2\sin ABD}=\dfrac{AD}{2\dfrac{AM}{AB}}=\dfrac{AB.AD}{2AM}=a.$
Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện giác $ABCD$ là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}.$
Đáp án A.