Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng ( ABC) , tam giác ABC vuông tại Bcó cạnh AB= 3; BC= 4 và góc giữa DC và mặt phẳng ( ABC) bằng ${{45}^{0}}$. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
A. $V=\dfrac{125\sqrt{3}}{3}\pi $
B. $V=\dfrac{25\sqrt{2}}{3}\pi $
C. $V=\dfrac{125\sqrt{2}}{3}\pi $
D. $V=\dfrac{5\sqrt{2}}{3}\pi $
A. $V=\dfrac{125\sqrt{3}}{3}\pi $
B. $V=\dfrac{25\sqrt{2}}{3}\pi $
C. $V=\dfrac{125\sqrt{2}}{3}\pi $
D. $V=\dfrac{5\sqrt{2}}{3}\pi $
Phương pháp:
- Gọi I là trung điểm của CD, sử dụng định lí: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
- Áp dụng định lí Pytago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính bán kính khối cầu.
- Sử dụng công thức: Thể tích khối cầu bán kính R là: $V=\dfrac{4}{3}R{{\pi }^{3}}.~$
Cách giải:
Gọi I là trung điểm của CD.
Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BC\bot AB(gt) \\
BC\bot AD(AD\bot (ABC)) \\
\end{array} \right.$ ⇒ BC⊥ ( ABD) ⇒ BC⊥ BD.
Suy ra ∆ BCDvuông tại B⇒ IB= IC= ID(tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền).
Lại có ∆ ACDvuông tại A(do AD⊥ ( ABC) ⇒ AD⊥ AC) ⇒ IA= IC= ID.
Do đó IA= IB= IC= IDhay Ilà tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Khi đó bán kính mặt cầu là $R=IC=\dfrac{CD}{2}$
. Ta có: AD⊥ ( ABC) nên AClà hình chiếu của CDlên ( ABC)
$\Rightarrow \angle \left( CD;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( CD;CA \right)=\angle ACD={{45}^{0}}.~$
Xét tam giác vuông ABCcó: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$ (định lí Pytago).
Xét tam giác vuông ACDcó: $CD=\dfrac{AC}{\cos {{45}^{0}}}=5\sqrt{2}\Rightarrow R=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDlà: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{125\sqrt{2}}{3}\pi $
- Gọi I là trung điểm của CD, sử dụng định lí: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
- Áp dụng định lí Pytago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính bán kính khối cầu.
- Sử dụng công thức: Thể tích khối cầu bán kính R là: $V=\dfrac{4}{3}R{{\pi }^{3}}.~$
Cách giải:
Gọi I là trung điểm của CD.
Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BC\bot AB(gt) \\
BC\bot AD(AD\bot (ABC)) \\
\end{array} \right.$ ⇒ BC⊥ ( ABD) ⇒ BC⊥ BD.
Suy ra ∆ BCDvuông tại B⇒ IB= IC= ID(tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền).
Lại có ∆ ACDvuông tại A(do AD⊥ ( ABC) ⇒ AD⊥ AC) ⇒ IA= IC= ID.
Do đó IA= IB= IC= IDhay Ilà tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Khi đó bán kính mặt cầu là $R=IC=\dfrac{CD}{2}$
. Ta có: AD⊥ ( ABC) nên AClà hình chiếu của CDlên ( ABC)
$\Rightarrow \angle \left( CD;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( CD;CA \right)=\angle ACD={{45}^{0}}.~$
Xét tam giác vuông ABCcó: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$ (định lí Pytago).
Xét tam giác vuông ACDcó: $CD=\dfrac{AC}{\cos {{45}^{0}}}=5\sqrt{2}\Rightarrow R=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDlà: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{125\sqrt{2}}{3}\pi $
Đáp án C.