Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có $BCD=ABC=ADC=90{}^\circ ,BC=4,CD=3$ và khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BD$ bằng $3$. Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng $V$. Khẳng định đúng là:
A. $V=\dfrac{18}{5}$.
B. $V=\dfrac{12}{5}$.
C. $V=\dfrac{36}{5}$.
D. $V=\dfrac{108}{5}$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left( BCD \right)$.
Do $CB\bot BA$ nên $CB\bot BH$ ; $CD\bot DA$ nên $CD\bot DH$ hay $HBCD$ là hình chữ nhật.
Kẻ $HI\bot BD$ suy ra $AI\bot BD$ hay $AI=3$.
Có $\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{3}^{2}}}+\dfrac{1}{{{4}^{2}}}=\dfrac{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}{{{3}^{2}}{{.4}^{2}}}\Rightarrow HI=\dfrac{12}{5}$ và $AH=\sqrt{A{{I}^{2}}-H{{I}^{2}}}=\dfrac{9}{5}.$
Vậy $V=\dfrac{1}{3}.AH.{{S}_{BCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{9}{5}.\dfrac{1}{2}.3.4=\dfrac{18}{5}.$
A. $V=\dfrac{18}{5}$.
B. $V=\dfrac{12}{5}$.
C. $V=\dfrac{36}{5}$.
D. $V=\dfrac{108}{5}$.
Do $CB\bot BA$ nên $CB\bot BH$ ; $CD\bot DA$ nên $CD\bot DH$ hay $HBCD$ là hình chữ nhật.
Kẻ $HI\bot BD$ suy ra $AI\bot BD$ hay $AI=3$.
Có $\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{D}^{2}}}=\dfrac{1}{{{3}^{2}}}+\dfrac{1}{{{4}^{2}}}=\dfrac{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}{{{3}^{2}}{{.4}^{2}}}\Rightarrow HI=\dfrac{12}{5}$ và $AH=\sqrt{A{{I}^{2}}-H{{I}^{2}}}=\dfrac{9}{5}.$
Vậy $V=\dfrac{1}{3}.AH.{{S}_{BCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{9}{5}.\dfrac{1}{2}.3.4=\dfrac{18}{5}.$
Đáp án A.