Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a. Các cặp mặt phẳng (ACD) và (BCD), (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau. Tính theo a độ dài cạnh CD.

Phương pháp giải:
- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh tam giác ABN, CDM là các tam giác vuông cân.
- Tính BN, CN theo MN.
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BCN, từ đó tính MN theo a và suy ra CD theo a.
Giải chi tiết:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Vì tam giác ACD, BCD là các tam giác cân lần lượt tại A và B nên $\{\begin{array}{l}AN\mathrm{\perp }CD\\ BN\mathrm{\perp }CD\end{array}$.
Lại có $\{\begin{array}{l}\left(ACD\right)\mathrm{\perp }\left(BCD\right)=CD\\ AN\subset \left(ACD\right),AN\mathrm{\perp }CD\\ BN\subset \left(BCD\right),BN\mathrm{\perp }CD\end{array}$ $\Rightarrow \mathrm{\angle }(\left(ACD\right);\left(BCD\right))=\mathrm{\angle }(AN;BN)=\mathrm{\angle }ANB={90}^0$.
Dễ thấy $\mathrm{\Delta }ACD=\mathrm{\Delta }BCD(c.c.c)\Rightarrow AN=BN$ $\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABN$ vuông cân tại N $\Rightarrow MN={\displaystyle \frac{1}{2}}AB$.
Chứng minh tương tự ta có $\mathrm{\Delta }MCD$ vuông cân tại M nên $MN={\displaystyle \frac{1}{2}}CD$.
$\Rightarrow AB=CD$.
Ta có: $BN=\sqrt{2}MN,CN={\displaystyle \frac{1}{2}}CD=MN$.
Xét tam giác vuông BCN có: $B{N}^2+C{N}^2=B{C}^2$
$\Rightarrow 2M{N}^2+M{N}^2=a^2\Rightarrow MN={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}$.
Vậy $CD=2MN={\displaystyle \frac{2a\sqrt{3}}{3}}$.