Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a. Các cặp mặt phẳng (ACD) và (BCD), (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau. Tính theo a độ dài cạnh CD.

Phương pháp giải:
- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh tam giác ABN, CDM là các tam giác vuông cân.
- Tính BN, CN theo MN.
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BCN, từ đó tính MN theo a và suy ra CD theo a.
Giải chi tiết:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Vì tam giác ACD, BCD là các tam giác cân lần lượt tại A và B nên $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AN\bot CD \\
BN\bot CD \\
\end{array} \right.$.
Lại có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\left( ACD \right)\bot \left( BCD \right)=CD \\
AN\subset \left( ACD \right),AN\bot CD \\
BN\subset \left( BCD \right),BN\bot CD \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow \angle \left( \left( ACD \right);\left( BCD \right) \right)=\angle \left( AN;BN \right)=\angle ANB={{90}^{0}}$.
Dễ thấy $\Delta ACD=\Delta BCD\left( c.c.c \right)\Rightarrow AN=BN$ $\Rightarrow \Delta ABN$ vuông cân tại N $\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}AB$.
Chứng minh tương tự ta có $\Delta MCD$ vuông cân tại M nên $MN=\dfrac{1}{2}CD$.
$\Rightarrow AB=CD$.
Ta có: $BN=\sqrt{2}MN,CN=\dfrac{1}{2}CD=MN$.
Xét tam giác vuông BCN có: $B{{N}^{2}}+C{{N}^{2}}=B{{C}^{2}}$
$\Rightarrow 2M{{N}^{2}}+M{{N}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow MN=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Vậy $CD=2MN=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.