Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh bằng a không đổi. Độ dài CD thay đổi. Tính giá trị lớn nhất đạt được của thể tích khối tứ...

Phương pháp giải:
- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB. Chứng minh $d(AB;CD)=MN$.
- Sử dụng công thức $V_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{6}}AB.CD.d(AB;CD).\sin \mathrm{\angle }(AB;CD)$.
- Đặt CD = x, tính MN theo x, sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến.
- Sử dụng BĐT Cô-si tìm GTLN của $V_{ABCD}$.
Giải chi tiết:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB.
Vì tam giác ABC, ABD là các tam giác đều cạnh a nên AB = AC = AD = BC = BD = a.
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }BCD,\mathrm{\Delta }ACD$ là các tam giác cân tại A $\Rightarrow \{\begin{array}{l}CD\mathrm{\perp }AM\\ CD\mathrm{\perp }BM\end{array}\Rightarrow CD\mathrm{\perp }\left(ABM\right)$ $\Rightarrow CD\mathrm{\perp }MN$.
Lại có $\mathrm{\Delta }BCD=\mathrm{\Delta }ACD(c.c.c)\Rightarrow AM=BM$ $\Rightarrow \mathrm{\Delta }ABM$ cân tại M $\Rightarrow MN\mathrm{\perp }AB$.
$\Rightarrow d(AB;CD)=MN$.
Đặt CD = x $(x>0)$ ta có $AM=BM=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2+a^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{4a^2-x^2}}{2}}$.
$\Rightarrow MN=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4a^2-x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{4a^2-x^2}{4}}}{2}}-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3a^2-x^2}}{2}}$
Do đó ta có
$V_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{6}}AB.CD.d(AB;CD).\sin \mathrm{\angle }(AB;CD)$
$={\displaystyle \frac{1}{6}}a.x.{\displaystyle \frac{\sqrt{3a^2-x^2}}{2}}.\sin \mathrm{\angle }(AB;CD)$
Để $V_{ABCD}$ đạt giá trị lớn nhất thì $\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=x.{\displaystyle \frac{\sqrt{3a^2-x^2}}{2}}datGTLN\\ \sin \mathrm{\angle }(AB;CD)=1\end{array}$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có $f\left(x\right)=x.{\displaystyle \frac{\sqrt{3a^2-x^2}}{2}}\le {\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{x^2+3a^2-x^2}{2}}={\displaystyle \frac{3a^2}{4}}$.
Dấu "=" xảy ra $\iff x={\displaystyle \frac{\sqrt{3a^2-x^2}}{2}}\iff 4x^2=3a^2-x^2\iff x={\displaystyle \frac{a\sqrt{15}}{5}}$.
Vậy $max{V}_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{6}}a.{\displaystyle \frac{3a^2}{4}}={\displaystyle \frac{a^3}{8}}$.