Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, ACD và BCD là các tam giác vuông tương ứng tại A và B. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Phương pháp giải:
- Chóp có các cạnh bên bằng nhau có chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính chiều cao và diện tích đáy.
- Thể tích khối chóp bằng 1/3 tích đường cao và diện tích đáy.
Giải chi tiết:

Vì ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a nên $AB=AC=AD=BC=BD=a$.
Do đó hình chiếu vuông góc của A lên (BCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
Lại có tam giác BCD vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD là trung điểm H của CD.
$\Rightarrow AH\mathrm{\perp }CD$
Xét tam giác ACD vuông cân tại A có $AC=AD=a$ nên $AH={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}$.
Tam giác BCD vuông cân tại B có BC = BD = a nên $S_{\mathrm{\Delta }BCD}={\displaystyle \frac{1}{2}}.BC.BD={\displaystyle \frac{a^2}{2}}$.
Vậy $V_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}AH.S_{\mathrm{\Delta }BCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}.{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}.{\displaystyle \frac{a^2}{2}}={\displaystyle \frac{a^3\sqrt{2}}{12}}$