Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, ACD và BCD là các tam giác vuông tương ứng tại A và B. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Phương pháp giải:
- Chóp có các cạnh bên bằng nhau có chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính chiều cao và diện tích đáy.
- Thể tích khối chóp bằng 1/3 tích đường cao và diện tích đáy.
Giải chi tiết:

Vì ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a nên $AB=AC=AD=BC=BD=a$.
Do đó hình chiếu vuông góc của A lên (BCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
Lại có tam giác BCD vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD là trung điểm H của CD.
$\Rightarrow AH\bot CD$
Xét tam giác ACD vuông cân tại A có $AC=AD=a$ nên $AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Tam giác BCD vuông cân tại B có BC = BD = a nên ${{S}_{\Delta BCD}}=\dfrac{1}{2}.BC.BD=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
Vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{\Delta BCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$