Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông tương ứng tại A, B, C. Góc giữa AD và (ABC) bằng ${{45}^{0}}$, $AD\bot BC$ và khoảng cách giữa AD và BC bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$
B. $\dfrac{4\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6}$
D. $\dfrac{4\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$
B. $\dfrac{4\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6}$
D. $\dfrac{4\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
Phương pháp giải:
- Dựng hình chữ nhật ABHC, chứng minh $DH\bot \left( ABCD \right)$.
- Xác định góc giữa AD và (ABC) là góc giữa AD và hình chiếu của AD lên (ABC).
- Chứng minh ABHC là hình vuông.
- Xác định đoạn vuông góc chung của AD và BC.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao DH và độ dài đường chéo của hình vuông ABHC.
- Tính ${{S}_{ABHC}}\Rightarrow {{S}_{ABC}}$, từ đó tính thể tích ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}HD.{{S}_{ABC}}$.
Giải chi tiết:
Dựng hình chữ nhật ABHC ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AB\bot BD \\
AB\bot BH \\
\end{array} \right.\Rightarrow AB\bot \left( BDH \right)\Rightarrow AB\bot DH$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AC\bot CH \\
AC\bot CD \\
\end{array} \right.\Rightarrow AC\bot \left( CDH \right)\Rightarrow AC\bot DH$
$\Rightarrow DH\bot \left( ABCD \right)$
⇒ AH là hình chiếu của AD lên (ABC) $\Rightarrow \angle \left( AD;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( AD;AH \right)=\angle DAH={{45}^{0}}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BC\bot DH\left( DH\bot \left( ABCD \right) \right) \\
BC\bot AD\left( gt \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow BC\bot \left( ADH \right)\Rightarrow BC\bot AH$.
$\Rightarrow ABHC$ là hình vuông (Tứ giác có hai đường chéo vuông góc).
Gọi $O=AH\cap BC$, trong (ADH) kẻ $OK\bot AD\left( K\in AD \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
OK\bot AD \\
OK\bot BC\left( BC\bot \left( ADH \right) \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow d\left( AD;BC \right)=OK=a$.
Xét tam giác OKA vuông tại K có $\angle OAK={{45}^{0}}$ nên tam giác OAK vuông cân tại K $\Rightarrow OA=OK\sqrt{2}=a\sqrt{2}$.
$\Rightarrow AH=2OA=2\sqrt{2}a$.
Lại có tam giác AHD vuông cân tại H nên $HD=AH=2\sqrt{2}a$.
Ta có: ${{S}_{ABHC}}=\dfrac{1}{2}A{{H}^{2}}=\dfrac{1}{2}\left( 2\sqrt{2}{{a}^{2}} \right)=4{{a}^{2}}$ $\Rightarrow {{S}_{ABC}}=2{{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}HD.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.2\sqrt{2}a.2{{a}^{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
- Dựng hình chữ nhật ABHC, chứng minh $DH\bot \left( ABCD \right)$.
- Xác định góc giữa AD và (ABC) là góc giữa AD và hình chiếu của AD lên (ABC).
- Chứng minh ABHC là hình vuông.
- Xác định đoạn vuông góc chung của AD và BC.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao DH và độ dài đường chéo của hình vuông ABHC.
- Tính ${{S}_{ABHC}}\Rightarrow {{S}_{ABC}}$, từ đó tính thể tích ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}HD.{{S}_{ABC}}$.
Giải chi tiết:
Dựng hình chữ nhật ABHC ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AB\bot BD \\
AB\bot BH \\
\end{array} \right.\Rightarrow AB\bot \left( BDH \right)\Rightarrow AB\bot DH$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AC\bot CH \\
AC\bot CD \\
\end{array} \right.\Rightarrow AC\bot \left( CDH \right)\Rightarrow AC\bot DH$
$\Rightarrow DH\bot \left( ABCD \right)$
⇒ AH là hình chiếu của AD lên (ABC) $\Rightarrow \angle \left( AD;\left( ABC \right) \right)=\angle \left( AD;AH \right)=\angle DAH={{45}^{0}}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
BC\bot DH\left( DH\bot \left( ABCD \right) \right) \\
BC\bot AD\left( gt \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow BC\bot \left( ADH \right)\Rightarrow BC\bot AH$.
$\Rightarrow ABHC$ là hình vuông (Tứ giác có hai đường chéo vuông góc).
Gọi $O=AH\cap BC$, trong (ADH) kẻ $OK\bot AD\left( K\in AD \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
OK\bot AD \\
OK\bot BC\left( BC\bot \left( ADH \right) \right) \\
\end{array} \right.\Rightarrow d\left( AD;BC \right)=OK=a$.
Xét tam giác OKA vuông tại K có $\angle OAK={{45}^{0}}$ nên tam giác OAK vuông cân tại K $\Rightarrow OA=OK\sqrt{2}=a\sqrt{2}$.
$\Rightarrow AH=2OA=2\sqrt{2}a$.
Lại có tam giác AHD vuông cân tại H nên $HD=AH=2\sqrt{2}a$.
Ta có: ${{S}_{ABHC}}=\dfrac{1}{2}A{{H}^{2}}=\dfrac{1}{2}\left( 2\sqrt{2}{{a}^{2}} \right)=4{{a}^{2}}$ $\Rightarrow {{S}_{ABC}}=2{{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}HD.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.2\sqrt{2}a.2{{a}^{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án D.