Cho tứ diện ABCD có ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông tương ứng tại A, B, C. Góc giữa AD và (ABC) bằng ${45}^0$, $AD\mathrm{\perp }BC$ và khoảng cách...

Phương pháp giải:
- Dựng hình chữ nhật ABHC, chứng minh $DH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$.
- Xác định góc giữa AD và (ABC) là góc giữa AD và hình chiếu của AD lên (ABC).
- Chứng minh ABHC là hình vuông.
- Xác định đoạn vuông góc chung của AD và BC.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao DH và độ dài đường chéo của hình vuông ABHC.
- Tính $S_{ABHC}\Rightarrow S_{ABC}$, từ đó tính thể tích $V_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}HD.S_{ABC}$.
Giải chi tiết:

Dựng hình chữ nhật ABHC ta có:
$\{\begin{array}{l}AB\mathrm{\perp }BD\\ AB\mathrm{\perp }BH\end{array}\Rightarrow AB\mathrm{\perp }\left(BDH\right)\Rightarrow AB\mathrm{\perp }DH$
$\{\begin{array}{l}AC\mathrm{\perp }CH\\ AC\mathrm{\perp }CD\end{array}\Rightarrow AC\mathrm{\perp }\left(CDH\right)\Rightarrow AC\mathrm{\perp }DH$
$\Rightarrow DH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$
⇒ AH là hình chiếu của AD lên (ABC) $\Rightarrow \mathrm{\angle }(AD;\left(ABC\right))=\mathrm{\angle }(AD;AH)=\mathrm{\angle }DAH={45}^0$.
Ta có: $\{\begin{array}{l}BC\mathrm{\perp }DH\left(DH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\right)\\ BC\mathrm{\perp }AD\left(gt\right)\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(ADH\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }AH$.
$\Rightarrow ABHC$ là hình vuông (Tứ giác có hai đường chéo vuông góc).
Gọi $O=AH\cap BC$, trong (ADH) kẻ $OK\mathrm{\perp }AD(K\in AD)$ ta có:
$\{\begin{array}{l}OK\mathrm{\perp }AD\\ OK\mathrm{\perp }BC\left(BC\mathrm{\perp }\left(ADH\right)\right)\end{array}\Rightarrow d(AD;BC)=OK=a$.
Xét tam giác OKA vuông tại K có $\mathrm{\angle }OAK={45}^0$ nên tam giác OAK vuông cân tại K $\Rightarrow OA=OK\sqrt{2}=a\sqrt{2}$.
$\Rightarrow AH=2OA=2\sqrt{2}a$.
Lại có tam giác AHD vuông cân tại H nên $HD=AH=2\sqrt{2}a$.
Ta có: $S_{ABHC}={\displaystyle \frac{1}{2}}A{H}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(2\sqrt{2}{a}^2\right)=4a^2$ $\Rightarrow S_{ABC}=2a^2$.
Vậy $V_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}HD.S_{ABC}={\displaystyle \frac{1}{3}}.2\sqrt{2}a.2a^2={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}{a}^3}{3}}$.