Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ${ABCD}$ có ${AB}$ vuông góc với mặt phẳng ${\left( BCD \right)}$. Biết tam giác ${BCD}$ vuông góc tại ${C}$ và ${AB=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}}$, ${AC=a\sqrt{2},CD=a}$. Gọi ${E}$ là trung điểm của ${AC}$. Góc giữa hai đường thẳng ${AB}$ và ${DE}$ bằng :
A. ${45{}^\circ }$.
B. ${90{}^\circ }$.
C. ${30{}^\circ }$.
D. ${60{}^\circ }$.
Gọi M là trung điểm của BC. Suy ra EM là đường trung bình của tam giác ABC nên $EM//AB\Rightarrow $ góc giữa AB,DE là góc giữa EM và DE và $EM\bot \left( BCD \right).$
Tacó $EM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.$
Ta có : tam giác ABC vuông tại B nên $BC=\sqrt{A{{C}^{2}}A{{B}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Tam giác BCD vuông tại C nên $DM=\sqrt{C{{D}^{2}}+C{{M}^{2}}}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}.$
Tam giác DME vuông tại M nên tan $\widehat{DEM}=\dfrac{DM}{EM}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{DEM}={{60}^{0}}.$
Vậy góc giữa DE và EM bằng ${{60}^{0}}.$
A. ${45{}^\circ }$.
B. ${90{}^\circ }$.
C. ${30{}^\circ }$.
D. ${60{}^\circ }$.
Gọi M là trung điểm của BC. Suy ra EM là đường trung bình của tam giác ABC nên $EM//AB\Rightarrow $ góc giữa AB,DE là góc giữa EM và DE và $EM\bot \left( BCD \right).$
Tacó $EM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.$
Ta có : tam giác ABC vuông tại B nên $BC=\sqrt{A{{C}^{2}}A{{B}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Tam giác BCD vuông tại C nên $DM=\sqrt{C{{D}^{2}}+C{{M}^{2}}}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}.$
Tam giác DME vuông tại M nên tan $\widehat{DEM}=\dfrac{DM}{EM}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{DEM}={{60}^{0}}.$
Vậy góc giữa DE và EM bằng ${{60}^{0}}.$
Đáp án D.