Cho tứ diện ABCD có $AB=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và các cạnh còn lại...

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ ta có $D{{M}^{2}}=\dfrac{D{{A}^{2}}+D{{B}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}=\dfrac{13{{a}^{2}}}{16}\Rightarrow DM=\dfrac{a\sqrt{13}}{4}$.
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ thì $I\in DM$.
Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABD$ cân tại $D$.
Ta có $DM\bot AB\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}DM.AB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{13}}{4}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{39}}{16}$.
Ta có $S=\dfrac{AB.AC.BC}{4R}\Rightarrow R=\dfrac{AB.AC.BC}{4S}=\dfrac{a.a.a\sqrt{3}}{8.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{39}}{16}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}a$.
Tam giác $CDI$ vuông tại $I\Rightarrow C{{I}^{2}}=C{{D}^{2}}-{{R}^{2}}={{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{2\sqrt{13}}{13}a \right)}^{2}}=\dfrac{9}{13}{{a}^{2}}\Rightarrow CI=\dfrac{3\sqrt{13}}{3}a$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CA=CB=CD=a \\
& IA=ID=IB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow IC\bot \left( ABD \right) $. (Do $ IC $là trục đường tròn của tam giác $ ABD$).
Gọi $N$ là trung điểm của $DC$. Trong mặt phẳng $\left( CDI \right)$ kẻ $NO\bot CD,\ NO\cap CI=O$ thì $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Ta có
$\Delta CNO \Delta CID\Rightarrow \dfrac{CO}{CD}=\dfrac{CN}{CI}\Rightarrow CO=\dfrac{CD.CN}{CI}=\dfrac{C{{D}^{2}}}{2CI}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2.\dfrac{3\sqrt{13}}{13}a}=\dfrac{\sqrt{13}}{6}a\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=13 \\
& n=6 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow m+n=19$.