Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=BD=AD=2a$ ; $AC=\sqrt{7}a$ ; $BC=\sqrt{3}a$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$, $CD$ bằng $a$, tính...

Vì $AB=BD=AD=2a$ ; $AC=\sqrt{7}a$ ; $BC=\sqrt{3}a$ nên $\Delta ABD$ đều và $\Delta ABC$ vuông tại $B$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, dựng hình chữ nhật $BCEM$.
Ta có. $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot ME \\
& AB\bot MD \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow AB\bot \left( DME \right) $ $ \Rightarrow \left( ABC \right)\bot \left( DME \right)$.
Trong $\left( DME \right)$, kẻ $DH\bot ME$ tại $H$, suy ra $DH\bot \left( ABC \right)$.
Ta có $DM=ME=a\sqrt{3}$, suy ra tam giác $DME$ cân tại $M$.
Gọi $N$ là trung điểm của $DE$ $\Rightarrow MN\bot DE$. Do đó $DH=\dfrac{MN.DE}{ME},\left( * \right)$.
$EC\text{//}AB$ $\Rightarrow EC\bot \left( DME \right)\Rightarrow EC\bot MN$.
$\left\{ \begin{aligned}
& MN\bot DE \\
& MN\bot EC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MN\bot \left( DEC \right)$.
$AB\text{//}\left( DEC \right)$ $\Rightarrow d\left( AB, CD \right)=d\left( AB,\left( DEC \right) \right)=d\left( M, \left( DEC \right) \right)=MN=a$.
$DE=2NE=2\sqrt{M{{E}^{2}}-M{{N}^{2}}}=2a\sqrt{2}$.
Thế vào $\left( * \right)$ ta được. $DH=\dfrac{a.2a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.DH.\dfrac{1}{2}.AB.BC=\dfrac{1}{6}.\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.2a.a\sqrt{3}=\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.