Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=BD=AD=2a$ ; $AC=\sqrt{7}a$ ; $BC=\sqrt{3}a$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$, $CD$ bằng $a$, tính...

Vì ; ; nên đều và vuông tại .
Gọi là trung điểm của , dựng hình chữ nhật .
Ta có. $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot ME \\
& AB\bot MD \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow AB\bot \left( DME \right) \Rightarrow \left( ABC \right)\bot \left( DME \right)\left( DME \right)DH\bot MEHDH\bot \left( ABC \right)DM=ME=a\sqrt{3}DMEMNDE\Rightarrow MN\bot DEDH=\dfrac{MN.DE}{ME},\left( * \right)EC\text{//}AB\Rightarrow EC\bot \left( DME \right)\Rightarrow EC\bot MN\left\{ \begin{aligned}
& MN\bot DE \\
& MN\bot EC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MN\bot \left( DEC \right)AB\text{//}\left( DEC \right)\Rightarrow d\left( AB, CD \right)=d\left( AB,\left( DEC \right) \right)=d\left( M, \left( DEC \right) \right)=MN=aDE=2NE=2\sqrt{M{{E}^{2}}-M{{N}^{2}}}=2a\sqrt{2}\left( * \right)DH=\dfrac{a.2a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.DH.\dfrac{1}{2}.AB.BC=\dfrac{1}{6}.\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.2a.a\sqrt{3}=\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.