Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=BD=AD=2a,AC=a\sqrt{7},BC=a\sqrt{5}.$...

Cách giải:

Ta có $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=4{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}=7{{a}^{2}}=A{{C}^{2}}$ nên $\Delta ABC$ vuông tại $B$ (định lí Pytago đảo).
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}.2a.a\sqrt{3}={{a}^{2}}\sqrt{3}.$
Dựng hình chữ nhật $ABCE$ ta có $AB//CE\Rightarrow AB//\left( CDE \right)\Rightarrow d\left( AB;CD \right)=d\left( AB;\left( CDE \right) \right).$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB,$ kẻ $IJ//AE//BC.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot DI \\
& AB\bot IJ \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( DIJ \right).$
Trong $\left( DIJ \right)$ kẻ $DH\bot IJ\left( H\in IJ \right)\Rightarrow DH\bot \left( ABCD \right).$
Ta có $d\left( AB;CD \right)=d\left( AB;\left( CDE \right) \right)=d\left( I;\left( CDE \right) \right).$
Trong $\left( DIJ \right)$ kẻ $IK\bot DJ\left( K\in DJ \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& CE//AB \\
& AB\bot \left( DIJ \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( DIJ \right)\Rightarrow IK\bot IJ$
$\left\{ \begin{aligned}
& IK\bot IJ \\
& IK\bot DJ \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow IK\bot \left( CDE \right)\Rightarrow d\left( I;\left( CDE \right) \right)=IK=\dfrac{a}{2}$

Vì $\Delta ABD$ đều cạnh $2a$ nên $DI=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}=IJ\Rightarrow \Delta DIJ$ cân tại $I\Rightarrow K$ là trung điểm của $DJ.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $DIK$ ta có $DK=\sqrt{D{{I}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{11}}{2}.$
$\Rightarrow DJ=2DK=a\sqrt{11}.$
Khi đó ta có ${{S}_{\Delta DIJ}}=\dfrac{1}{2}IK.DJ=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.a\sqrt{11}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{4}.$
Lại có ${{S}_{\Delta DIJ}}=\dfrac{1}{2}DH.IJ\Rightarrow DH=\dfrac{2{{S}_{\Delta DIJ}}}{IJ}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{2.a\sqrt{3}}=\dfrac{a\sqrt{33}}{6}.$
Vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}DH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{33}}{6}.{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{11}}{6}.$