Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với $AB=6a$, $AC=9a$, $AD=3a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC,ACD,ADB$...

Phương pháp giải:
- Gọi $M_1,N_1,P_1$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD,BD$, sử dụng công thức tỉ lệ thể tích Simpson, so sánh $V_{AMNP}$ và $V_{A{M}_1{N}_1{P}_1}$.
- Tiếp tục so sánh thể tích hai khối chóp có cùng chiều cao $A.M_1{N}_1{P}_1$ và $A.BCD$, sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số diện tích hai đáy.
- Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$ là $V_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{6}}AB.AC.AD$, từ đó tính được $V_{AMNP}$.
Giải chi tiết:

Gọi $M_1,N_1,P_1$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD,BD$, ta có ${\displaystyle \frac{AM}{A{M}_1}}={\displaystyle \frac{AN}{A{N}_1}}={\displaystyle \frac{AP}{A{P}_1}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
Khi đó ${\displaystyle \frac{V_{AMNP}}{V_{A{M}_1{N}_1{P}_1}}}={\displaystyle \frac{AM}{A{M}_1}}.{\displaystyle \frac{AN}{A{N}_1}}.{\displaystyle \frac{AP}{A{P}_1}}={\displaystyle \frac{8}{27}}$.
Dễ thấy $\mathrm{\Delta }{M}_1{N}_1{P}_1$ đồng dạng với tam giác $DBC$ theo tỉ số $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$ nên ${\displaystyle \frac{S_{M_1{N}_1{P}_1}}{S_{DBC}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.
Mà hai khối chóp $A.M_1{N}_1{P}_1$ và $A.BCD$ có dùng chiều cao nên ${\displaystyle \frac{V_{A.M_1{N}_1{P}_1}}{V_{ABCD}}}={\displaystyle \frac{S_{M_1{N}_1{P}_1}}{S_{DBC}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.
Lại có $V_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{6}}AB.AC.AD={\displaystyle \frac{1}{6}}.6a.9a.3a=27a^3$ $\Rightarrow V_{A.M_1{N}_1{P}_1}={\displaystyle \frac{1}{4}}{V}_{ABCD}={\displaystyle \frac{27a^3}{4}}$.
Vậy $V_{AMNP}={\displaystyle \frac{8}{27}}{V}_{A{M}_1{N}_1{P}_1}={\displaystyle \frac{8}{27}}.{\displaystyle \frac{27a^3}{4}}=2a^3$.