Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với $AB=6a$, $AC=9a$, $AD=3a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC,ACD,ADB$. Thể tích của khối tứ diện $AMNP$ bằng:
A. $2{{a}^{3}}$
B. $4{{a}^{3}}$
C. $6{{a}^{3}}$
D. $8{{a}^{3}}$
A. $2{{a}^{3}}$
B. $4{{a}^{3}}$
C. $6{{a}^{3}}$
D. $8{{a}^{3}}$
Phương pháp giải:
- Gọi ${{M}_{1}},{{N}_{1}},{{P}_{1}}$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD,BD$, sử dụng công thức tỉ lệ thể tích Simpson, so sánh ${{V}_{AMNP}}$ và ${{V}_{A{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}$.
- Tiếp tục so sánh thể tích hai khối chóp có cùng chiều cao $A.{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}$ và $A.BCD$, sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số diện tích hai đáy.
- Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$ là ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD$, từ đó tính được ${{V}_{AMNP}}$.
Giải chi tiết:
Gọi ${{M}_{1}},{{N}_{1}},{{P}_{1}}$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD,BD$, ta có $\dfrac{AM}{A{{M}_{1}}}=\dfrac{AN}{A{{N}_{1}}}=\dfrac{AP}{A{{P}_{1}}}=\dfrac{2}{3}$.
Khi đó $\dfrac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{A{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}}=\dfrac{AM}{A{{M}_{1}}}.\dfrac{AN}{A{{N}_{1}}}.\dfrac{AP}{A{{P}_{1}}}=\dfrac{8}{27}$.
Dễ thấy $\Delta {{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}$ đồng dạng với tam giác $DBC$ theo tỉ số $k=\dfrac{1}{2}$ nên $\dfrac{{{S}_{{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}}{{{S}_{DBC}}}=\dfrac{1}{4}$.
Mà hai khối chóp $A.{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}$ và $A.BCD$ có dùng chiều cao nên $\dfrac{{{V}_{A.{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{{{S}_{{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}}{{{S}_{DBC}}}=\dfrac{1}{4}$.
Lại có ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD=\dfrac{1}{6}.6a.9a.3a=27{{a}^{3}}$ $\Rightarrow {{V}_{A.{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{27{{a}^{3}}}{4}$.
Vậy ${{V}_{AMNP}}=\dfrac{8}{27}{{V}_{A{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}=\dfrac{8}{27}.\dfrac{27{{a}^{3}}}{4}=2{{a}^{3}}$.
- Gọi ${{M}_{1}},{{N}_{1}},{{P}_{1}}$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD,BD$, sử dụng công thức tỉ lệ thể tích Simpson, so sánh ${{V}_{AMNP}}$ và ${{V}_{A{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}$.
- Tiếp tục so sánh thể tích hai khối chóp có cùng chiều cao $A.{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}$ và $A.BCD$, sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số diện tích hai đáy.
- Tính thể tích khối tứ diện $ABCD$ là ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD$, từ đó tính được ${{V}_{AMNP}}$.
Giải chi tiết:
Gọi ${{M}_{1}},{{N}_{1}},{{P}_{1}}$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD,BD$, ta có $\dfrac{AM}{A{{M}_{1}}}=\dfrac{AN}{A{{N}_{1}}}=\dfrac{AP}{A{{P}_{1}}}=\dfrac{2}{3}$.
Khi đó $\dfrac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{A{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}}=\dfrac{AM}{A{{M}_{1}}}.\dfrac{AN}{A{{N}_{1}}}.\dfrac{AP}{A{{P}_{1}}}=\dfrac{8}{27}$.
Dễ thấy $\Delta {{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}$ đồng dạng với tam giác $DBC$ theo tỉ số $k=\dfrac{1}{2}$ nên $\dfrac{{{S}_{{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}}{{{S}_{DBC}}}=\dfrac{1}{4}$.
Mà hai khối chóp $A.{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}$ và $A.BCD$ có dùng chiều cao nên $\dfrac{{{V}_{A.{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{{{S}_{{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}}{{{S}_{DBC}}}=\dfrac{1}{4}$.
Lại có ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD=\dfrac{1}{6}.6a.9a.3a=27{{a}^{3}}$ $\Rightarrow {{V}_{A.{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{27{{a}^{3}}}{4}$.
Vậy ${{V}_{AMNP}}=\dfrac{8}{27}{{V}_{A{{M}_{1}}{{N}_{1}}{{P}_{1}}}}=\dfrac{8}{27}.\dfrac{27{{a}^{3}}}{4}=2{{a}^{3}}$.
Đáp án A.