Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=AD=a$ ; $\widehat{BAC}=\widehat{CAD}=60{}^\circ $ ; $\widehat{DAB}=90{}^\circ $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $BD$ là
A. $\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Từ giả thiết ta suy ra các tam giác $ABC$ và $ACD$ là các tam giác đều; tam giác $ABD$ vuông cân tại $A$, tam giác $BCD$ vuông cân tại $C$.
Gọi $I$ là trung điểm $BD$. Có $IA=IC$ nên tam giác $AIC$ cân tại $I$.
Gọi $H$ là trung điểm $AC$ $\Rightarrow IH\bot AC$. (1)
Có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AI \\
& BD\bot CI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( AIC \right)\Rightarrow BD\bot IH$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $IH$ là đoạn vuông góc chung của $AC$ và $BD$ nên $IH=d\left( AC,BD \right)$.
Có $IA=IC=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow I{{A}^{2}}+I{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}$ $\Rightarrow \Delta AIC$ vuông cân tại $I$ $\Rightarrow IH=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a}{2}$.
Vậy $d\left( AC,BD \right)=\dfrac{a}{2}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{30}}{10}$.
B. $\dfrac{a}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Từ giả thiết ta suy ra các tam giác $ABC$ và $ACD$ là các tam giác đều; tam giác $ABD$ vuông cân tại $A$, tam giác $BCD$ vuông cân tại $C$.
Gọi $I$ là trung điểm $BD$. Có $IA=IC$ nên tam giác $AIC$ cân tại $I$.
Gọi $H$ là trung điểm $AC$ $\Rightarrow IH\bot AC$. (1)
Có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AI \\
& BD\bot CI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( AIC \right)\Rightarrow BD\bot IH$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $IH$ là đoạn vuông góc chung của $AC$ và $BD$ nên $IH=d\left( AC,BD \right)$.
Có $IA=IC=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow I{{A}^{2}}+I{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}$ $\Rightarrow \Delta AIC$ vuông cân tại $I$ $\Rightarrow IH=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a}{2}$.
Vậy $d\left( AC,BD \right)=\dfrac{a}{2}$.
Đáp án B.