Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=2a,$ độ dài tất cả các cạnh còn lại cùng bằng $a\sqrt{2}.$ Diệntích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đã cho bằng

Phương pháp:
- Chứng minh $\Delta ABC,\Delta ABD$ vuông (định lí Pytago đảo).
- Gọi $I$ là trung điểm của $AB,$ chứng minh $IA=IB=IC=ID.$
- Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là $S=4\pi {{R}^{2}}.$
Cách giải:

Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}={{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}=A{{B}^{2}} \\
& A{{D}^{2}}+B{{D}^{2}}={{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}=A{{B}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta ABC,\Delta ABD $ là các tam giác vuông tại $ C,D.$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB,$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IC=\dfrac{1}{2}AB=IA=IB \\
& ID=\dfrac{1}{2}AB=IA=IB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow IA=IB=IC=ID.$
$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD,$ bán kính mặt cầu là $R=IA=\dfrac{1}{2}AB=a.$
Vậy diện tích mặt cầu là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{a}^{2}}.$