Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=2,$ các cạnh còn lại bằng 4, khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng
A. $\sqrt{13}.$
B. $\sqrt{3}.$
C. $\sqrt{2}.$
D. $\sqrt{11}.$
Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $AB$.
Ta có tam giác $ABC$ cân tại $C$ nên $CM\bot AB$ và tam giác $ABD$ cân tại $D$ nên $DM\bot AB.$
Suy ra $AB\bot \left( CDM \right).$ Gọi $N$ là trung điểm của $CD$ thì $AB\bot MN.$
Lại có $\Delta DAB=\Delta CAB\Rightarrow DM=CM$ hay tam giác $DCM$ cân tại $M\Rightarrow CD\bot MN$ nên $MN$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$. Suy ra $d\left( AB,CD \right)=MN.$
Có $DM=CM=\sqrt{C{{A}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{C{{A}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{15}.$
Do đó $MN=\sqrt{C{{M}^{2}}-C{{N}^{2}}}=\sqrt{C{{M}^{2}}-\dfrac{C{{D}^{2}}}{4}}=\sqrt{11}.$
Vậy $d\left( AB,CD \right)=\sqrt{11}.$
A. $\sqrt{13}.$
B. $\sqrt{3}.$
C. $\sqrt{2}.$
D. $\sqrt{11}.$
Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $AB$.
Ta có tam giác $ABC$ cân tại $C$ nên $CM\bot AB$ và tam giác $ABD$ cân tại $D$ nên $DM\bot AB.$
Suy ra $AB\bot \left( CDM \right).$ Gọi $N$ là trung điểm của $CD$ thì $AB\bot MN.$
Lại có $\Delta DAB=\Delta CAB\Rightarrow DM=CM$ hay tam giác $DCM$ cân tại $M\Rightarrow CD\bot MN$ nên $MN$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$. Suy ra $d\left( AB,CD \right)=MN.$
Có $DM=CM=\sqrt{C{{A}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{C{{A}^{2}}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{15}.$
Do đó $MN=\sqrt{C{{M}^{2}}-C{{N}^{2}}}=\sqrt{C{{M}^{2}}-\dfrac{C{{D}^{2}}}{4}}=\sqrt{11}.$
Vậy $d\left( AB,CD \right)=\sqrt{11}.$
Đáp án D.