Cho tứ diện $A B C D$ cạnh $a .$ Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $B C$ sao cho $B M = 2 M C .$ Gọi $I, J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $A B C$ và $A B D$ . Mặt...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho tứ diện

A B C D

cạnh

a .

Gọi

M

là điểm thuộc cạnh

B C

sao cho

B M = 2 M C .

Gọi

I, J

lần lượt là trọng tâm các tam giác

A B C

và

A B D

. Mặt phẳng

(I J M)

chia tứ diện

A B C D

thành hai phần, thể tích của phần đa diện chứa đỉnh

B

tính theo

a

bằng
A.

\frac{\sqrt{2} a^{3}}{162} .

B.

\frac{\sqrt{2} a^{3}}{324} .

C.

\frac{\sqrt{2} a^{3}}{81} .

D.

\frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{81} .

Vì

\frac{B M}{B C} = \frac{2}{3},

suy ra

I M / / A C .

Kéo dài

M I

cắt

A B

tại

N : \frac{B N}{B A} = \frac{2}{3} .

Suy ra

N J / / A D .

Kéo dài

N J

cắt

B D

tại

P : \frac{B P}{B D} = \frac{2}{3} .

Vì tứ diện đều nên

D I

là đường cao của tứ diện.
+)

D J = \sqrt{A D^{2} - A I^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}; S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .

Suy ra:

V_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .

Khi đó:

\frac{V_{B . M N P}}{V_{B . C A D}} = \frac{B M}{B C} . \frac{B N}{B A} . \frac{B P}{B D} = {(\frac{2}{3})}^{3} = \frac{8}{27} \Rightarrow V_{B . M N P} = \frac{8}{27} V_{B . C A D} = \frac{8}{27} . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{81} .

Đáp án D.

Cho tứ diện ABCD cạnh a. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho BM=2MC. Gọi I,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Mặt...