Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ cạnh $a.$ Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $BM=2MC.$ Gọi $I,J$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC$ và $ABD$. Mặt phẳng $\left( IJM \right)$ chia tứ diện $ABCD$ thành hai phần, thể tích của phần đa diện chứa đỉnh $B$ tính theo $a$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{162}.$
B. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{324}.$
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{81}.$
D. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{81}.$
Vì $\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{2}{3},$ suy ra $IM//AC.$ Kéo dài $MI$ cắt $AB$ tại $N:\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{2}{3}.$
Suy ra $NJ//AD.$ Kéo dài $NJ$ cắt $BD$ tại $P:\dfrac{BP}{BD}=\dfrac{2}{3}.$
Vì tứ diện đều nên $DI$ là đường cao của tứ diện.
+) $DJ=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3};{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
Suy ra: ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Khi đó: $\dfrac{{{V}_{B.MNP}}}{{{V}_{B.CAD}}}=\dfrac{BM}{BC}.\dfrac{BN}{BA}.\dfrac{BP}{BD}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{8}{27}\Rightarrow {{V}_{B.MNP}}=\dfrac{8}{27}{{V}_{B.CAD}}=\dfrac{8}{27}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{81}.$
A. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{162}.$
B. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{324}.$
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{81}.$
D. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{81}.$
Vì $\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{2}{3},$ suy ra $IM//AC.$ Kéo dài $MI$ cắt $AB$ tại $N:\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{2}{3}.$
Suy ra $NJ//AD.$ Kéo dài $NJ$ cắt $BD$ tại $P:\dfrac{BP}{BD}=\dfrac{2}{3}.$
Vì tứ diện đều nên $DI$ là đường cao của tứ diện.
+) $DJ=\sqrt{A{{D}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3};{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$
Suy ra: ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Khi đó: $\dfrac{{{V}_{B.MNP}}}{{{V}_{B.CAD}}}=\dfrac{BM}{BC}.\dfrac{BN}{BA}.\dfrac{BP}{BD}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{8}{27}\Rightarrow {{V}_{B.MNP}}=\dfrac{8}{27}{{V}_{B.CAD}}=\dfrac{8}{27}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{81}.$
Đáp án D.