Google
Câu hỏi: Cho tập $X=\left\{ 1;2;3;...;8 \right\}$. Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ $X.$ Lấy ngẫu nhiên một số từ $A.$ Tính xác suất để số lấy được chia hết cho 2222.
A. $\dfrac{384}{8!}$.
B. $\dfrac{192}{8!}$.
C. $\dfrac{4!.4!}{8!}$.
D. $\dfrac{C_{8}^{2}.C_{6}^{2}.C_{2}^{2}}{8!}$.
A. $\dfrac{384}{8!}$.
B. $\dfrac{192}{8!}$.
C. $\dfrac{4!.4!}{8!}$.
D. $\dfrac{C_{8}^{2}.C_{6}^{2}.C_{2}^{2}}{8!}$.
$A$ là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ $X=\left\{ 1;2;3;...;8 \right\}$ nên $A$ có số phần tử là 8! (số).
Giả sử lấy được từ tập $A$ số có dạng $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$ chia hết cho 2222 (với ${{a}_{i}}\in X,i=\overline{1,8}).$
Vì 2222 = 2.11.101 (2; 11; 101 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau) nên $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$ là số chữ đồng thời chia hết cho 11 và 101.
Ta có: $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}\vdots 11\Rightarrow \left[ \left( {{a}_{1}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}+{{a}_{7}} \right)-\left( {{a}_{2}}+{{a}_{4}}+{{a}_{6}}+{{a}_{8}} \right) \right]\vdots 11.$
Mà $\left( {{a}_{1}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}+{{a}_{7}} \right)+\left( {{a}_{2}}+{{a}_{4}}+{{a}_{6}}+{{a}_{8}} \right)=1+2+...+8=36,{{a}_{i}}\in X,i=\overline{1,8}.$
Suy ra ${{a}_{1}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}+{{a}_{7}}={{a}_{2}}+{{a}_{4}}+{{a}_{6}}+{{a}_{8}}=18.$
Lại có: $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}\vdots 101\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{5}}={{a}_{3}}+{{a}_{7}}={{a}_{2}}+{{a}_{6}}={{a}_{4}}+{{a}_{8}}=9.$
Nhận thấy các cặp chữ số có tổng bằng 9 lấy được từ $X$ là: $\left\{ 1;8 \right\};\left\{ 2;7 \right\};\left\{ 3;6 \right\};\left\{ 4;5 \right\}.$
Khi đó để lập được một số có dạng $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$ chia hết cho 2222, ta thực hiện liên tiếp các công đoạn sau:
+ Chọn 1 trong 4 cặp chữ số có tổng bằng 9: có 4 cách.
+ Xếp chữ số chẵn vào vị trí ${{a}_{8}}$ và chữ số lẻ vào vị trí ${{a}_{4}}:$ có 1 cách.
+ Chọn 1 trong 3 cặp chữ số có tổng bằng 9 còn lại: có 3 cách.
+ Xếp 2 chữ số trên vào vị trí ${{a}_{1}},{{a}_{5}}:$ có 2 cách.
+ Chọn 1 trong 2 cặp chữ số có tổng bằng 9 còn lại: có 2 cách.
+ Xếp 2 chữ số trên vào vị trí ${{a}_{2}},{{a}_{6}}:$ có 2 cách.
+ Cuối cùng xếp 2 chữ số của cặp còn lại vào vị trí ${{a}_{3}},{{a}_{7}}:$ có 2 cách.
Như vậy số các số cần tìm là $4.1.3.2.2.2.2=192$ số.
Xét phép thử: "Lấy ngẫu nhiên một số từ $A$ ".
Khi đó số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right)=8!.$
Biến cố B. "Số lấy được chia hết cho 2222" $\Rightarrow n\left( B \right)=192.$
Vậy xác suất để số lấy được chia hết cho 2222 là: $P\left( A \right)=\dfrac{192}{8!}.$
Giả sử lấy được từ tập $A$ số có dạng $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$ chia hết cho 2222 (với ${{a}_{i}}\in X,i=\overline{1,8}).$
Vì 2222 = 2.11.101 (2; 11; 101 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau) nên $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$ là số chữ đồng thời chia hết cho 11 và 101.
Ta có: $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}\vdots 11\Rightarrow \left[ \left( {{a}_{1}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}+{{a}_{7}} \right)-\left( {{a}_{2}}+{{a}_{4}}+{{a}_{6}}+{{a}_{8}} \right) \right]\vdots 11.$
Mà $\left( {{a}_{1}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}+{{a}_{7}} \right)+\left( {{a}_{2}}+{{a}_{4}}+{{a}_{6}}+{{a}_{8}} \right)=1+2+...+8=36,{{a}_{i}}\in X,i=\overline{1,8}.$
Suy ra ${{a}_{1}}+{{a}_{3}}+{{a}_{5}}+{{a}_{7}}={{a}_{2}}+{{a}_{4}}+{{a}_{6}}+{{a}_{8}}=18.$
Lại có: $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}\vdots 101\Rightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{5}}={{a}_{3}}+{{a}_{7}}={{a}_{2}}+{{a}_{6}}={{a}_{4}}+{{a}_{8}}=9.$
Nhận thấy các cặp chữ số có tổng bằng 9 lấy được từ $X$ là: $\left\{ 1;8 \right\};\left\{ 2;7 \right\};\left\{ 3;6 \right\};\left\{ 4;5 \right\}.$
Khi đó để lập được một số có dạng $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}{{a}_{8}}}$ chia hết cho 2222, ta thực hiện liên tiếp các công đoạn sau:
+ Chọn 1 trong 4 cặp chữ số có tổng bằng 9: có 4 cách.
+ Xếp chữ số chẵn vào vị trí ${{a}_{8}}$ và chữ số lẻ vào vị trí ${{a}_{4}}:$ có 1 cách.
+ Chọn 1 trong 3 cặp chữ số có tổng bằng 9 còn lại: có 3 cách.
+ Xếp 2 chữ số trên vào vị trí ${{a}_{1}},{{a}_{5}}:$ có 2 cách.
+ Chọn 1 trong 2 cặp chữ số có tổng bằng 9 còn lại: có 2 cách.
+ Xếp 2 chữ số trên vào vị trí ${{a}_{2}},{{a}_{6}}:$ có 2 cách.
+ Cuối cùng xếp 2 chữ số của cặp còn lại vào vị trí ${{a}_{3}},{{a}_{7}}:$ có 2 cách.
Như vậy số các số cần tìm là $4.1.3.2.2.2.2=192$ số.
Xét phép thử: "Lấy ngẫu nhiên một số từ $A$ ".
Khi đó số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right)=8!.$
Biến cố B. "Số lấy được chia hết cho 2222" $\Rightarrow n\left( B \right)=192.$
Vậy xác suất để số lấy được chia hết cho 2222 là: $P\left( A \right)=\dfrac{192}{8!}.$
Đáp án B.