Google
Câu hỏi: Cho tập hợp $A=\left\{ 1,2 , 3,..., 20 \right\}$. Hỏi $A$ có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng mà số phần tử là số chẵn bằng số phần tử là số lẻ?
A. $184755$.
B. $524288$.
C. $524287$.
D. $184756$.
A. $184755$.
B. $524288$.
C. $524287$.
D. $184756$.
Do $A$ có $10$ phần tử là số chẵn và $10$ phần tử là số lẻ nên số các phần tử là số chẵn trong các tập con khác rỗng của $A$ chỉ có thể là $1 , 2 , 3,..., 10$.
Gọi $B$ là tập con của $A$ mà số các phần tử là số chẵn bằng số các phần tử là số lẻ và bằng $k$ (với $1\le k\le 10$ ). Ta có.
- Số cách chọn ra $k$ số chẵn trong các số $2 , 4 , 6 ,..., 20$ là $C_{10}^{k}$.
- Số cách chọn ra $k$ số lẻ trong các số $1 , 3 , 5 ,..., 19$ là $C_{10}^{k}$.
- Số các tập con có số các phần tử là số chẵn bằng số các phần tử là số lẻ và bằng $k$ là ${{\left( C_{10}^{k} \right)}^{2}}$.
Suy ra số tập hợp con khác rỗng của $A$ mà số phần tử là số chẵn bằng số phần tử là số lẻ là
${{\left( C_{10}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{3} \right)}^{2}}+...+{{\left( C_{10}^{10} \right)}^{2}}$.
Cách 1. Bấm máy ta được ${{\left( C_{10}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{3} \right)}^{2}}+...+{{\left( C_{10}^{10} \right)}^{2}}=184755$.
Cách 2. Xét biểu thức $f\left( x \right)={{\left( 1+x \right)}^{10}}.{{\left( x+1 \right)}^{10}}$.
Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ trong khai triển $f\left( x \right)$ là ${{\left( C_{10}^{0} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{3} \right)}^{2}}+...+{{\left( C_{10}^{10} \right)}^{2}}$.
Mặt khác $f\left( x \right)={{\left( 1+x \right)}^{20}}$, suy ra hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ trong khai triển $f\left( x \right)$ là $C_{20}^{10}$.
Suy ra ${{\left( C_{10}^{0} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{3} \right)}^{2}}+...+{{\left( C_{10}^{10} \right)}^{2}}=C_{20}^{10}$.
Do đó ${{\left( C_{10}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{3} \right)}^{2}}+...+{{\left( C_{10}^{10} \right)}^{2}}=C_{20}^{10}-{{\left( C_{10}^{0} \right)}^{2}}=184755$.
Vậy số tập hợp con cần tìm là $184755$.
Gọi $B$ là tập con của $A$ mà số các phần tử là số chẵn bằng số các phần tử là số lẻ và bằng $k$ (với $1\le k\le 10$ ). Ta có.
- Số cách chọn ra $k$ số chẵn trong các số $2 , 4 , 6 ,..., 20$ là $C_{10}^{k}$.
- Số cách chọn ra $k$ số lẻ trong các số $1 , 3 , 5 ,..., 19$ là $C_{10}^{k}$.
- Số các tập con có số các phần tử là số chẵn bằng số các phần tử là số lẻ và bằng $k$ là ${{\left( C_{10}^{k} \right)}^{2}}$.
Suy ra số tập hợp con khác rỗng của $A$ mà số phần tử là số chẵn bằng số phần tử là số lẻ là
${{\left( C_{10}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{3} \right)}^{2}}+...+{{\left( C_{10}^{10} \right)}^{2}}$.
Cách 1. Bấm máy ta được ${{\left( C_{10}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{3} \right)}^{2}}+...+{{\left( C_{10}^{10} \right)}^{2}}=184755$.
Cách 2. Xét biểu thức $f\left( x \right)={{\left( 1+x \right)}^{10}}.{{\left( x+1 \right)}^{10}}$.
Hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ trong khai triển $f\left( x \right)$ là ${{\left( C_{10}^{0} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{3} \right)}^{2}}+...+{{\left( C_{10}^{10} \right)}^{2}}$.
Mặt khác $f\left( x \right)={{\left( 1+x \right)}^{20}}$, suy ra hệ số của số hạng chứa ${{x}^{10}}$ trong khai triển $f\left( x \right)$ là $C_{20}^{10}$.
Suy ra ${{\left( C_{10}^{0} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{3} \right)}^{2}}+...+{{\left( C_{10}^{10} \right)}^{2}}=C_{20}^{10}$.
Do đó ${{\left( C_{10}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( C_{10}^{3} \right)}^{2}}+...+{{\left( C_{10}^{10} \right)}^{2}}=C_{20}^{10}-{{\left( C_{10}^{0} \right)}^{2}}=184755$.
Vậy số tập hợp con cần tìm là $184755$.
Đáp án A.