Cho tập $A=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$. Gọi $S$ là tập hợp tất...

Gọi $a,b,c$ lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác. Giả sử $a\le b\le c$.
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $a=b=c$ $\Rightarrow $ có 6 tam giác thỏa mãn.
Trường hợp 2: $a=b<c$ . Suy ra $b<c<2b$
+ $b=2\Rightarrow 2<c<4\Rightarrow c=3$, có 1 tam giác
+ $b=3\Rightarrow 3<c<6\Rightarrow c\in \left\{ 4,5 \right\}$, có 2 tam giác
+ $b=4\Rightarrow 4<c<8\Rightarrow c\in \left\{ 5,6 \right\}$, có 2 tam giác
+ $b=5\Rightarrow 5<c<10\Rightarrow c=6$, có 1 tam giác
Vậy trường hợp này có 6 tam giác.
Trường hợp 3: $a<b=c$ . Suy ra $1\le a<b$
+ $b=2\Rightarrow a<2\Rightarrow a\in \left\{ 1 \right\}$, có 1 tam giác
+ $b=3\Rightarrow a<3\Rightarrow a\in \left\{ 1,2 \right\}$, có 2 tam giác
+ $b=4\Rightarrow a<4\Rightarrow a\in \left\{ 1,2,3 \right\}$, có 3 tam giác
+ $b=5\Rightarrow a<5\Rightarrow a\in \left\{ 1,2,3,4 \right\}$, có 4 tam giác
+ $b=6\Rightarrow a<6\Rightarrow a\in \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$, có 5 tam giác
Vậy trường hợp này có 15 tam giác.
Trường hợp 4: $a<b<c$ .
+ $a=1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b-1<c<b+1 \\
& c>b \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow c\in \varnothing $
+ $a=2\Rightarrow b<c<b+2\Rightarrow c=b+1\le 6\Rightarrow 2<b\le 5\Rightarrow b\in \left\{ 3,4,5 \right\}$ có 3 tam giác.
+$a=3\Rightarrow b<c<b+3\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& c=b+1\le 6\Rightarrow 3<b\le 5\Rightarrow b\in \left\{ 4,5 \right\} \\
& c=b+2\le 6\Rightarrow 3<b\le 4\Rightarrow b\in \left\{ 4 \right\} \\
\end{aligned} \right.$ có 3 tam giác.
+ $a=4\Rightarrow b=4,c=6$ có 1 tam giác
Vậy trường hợp này có 7 tam giác.
Ta có tổng số các tam giác được tạo thành là: $n\left( \Omega \right)=6+6+15+7=34$.
Gọi $A$ là biến cố " tam giác được chọn là tam giác cân"
$\Rightarrow n\left( A \right)=6+6+15=27$.
Vậy xác suất để phần tử được chọn là một tam giác cân là: $P\left( A \right)=\dfrac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\dfrac{27}{34}$.