Google
Câu hỏi: Cho tập $A$ có 20 phần tử. Hỏi tập $A$ có bao nhiêu tập con khác rỗng mà có số phần tử chẵn?
A. ${{2}^{20}}.$
B. ${{2}^{19}}-1.$
C. ${{2}^{20}}+1.$
D. ${{2}^{19}}.$
A. ${{2}^{20}}.$
B. ${{2}^{19}}-1.$
C. ${{2}^{20}}+1.$
D. ${{2}^{19}}.$
Số tập hợp con khác rỗng của tập hợp $A$ mà có $k$ phần tử là $C_{20}^{k}\left( k\in \mathbb{N},0\le k\le 20 \right).$
Khi đó tổng số tập hợp con khác rỗng mà có số phần tử chẵn là $S=C_{20}^{2}+C_{20}^{4}+...+C_{20}^{20}.$
Xét ${{\left( 1+x \right)}^{20}}=C_{20}^{0}+C_{20}^{1}x+C_{20}^{2}{{x}^{2}}+...+C_{20}^{20}{{x}^{20}}.$
Cho $x=1,$ ta được ${{2}^{20}}=C_{20}^{0}+C_{20}^{1}+C_{20}^{2}+...+C_{20}^{20}\left( 1 \right)$
Cho $x=-1,$ ta được $0=C_{20}^{0}-C_{20}^{1}+C_{20}^{2}-...+C_{20}^{20}\left( 2 \right).$
Công vế theo vế (1) và (2), ta được
${{2}^{20}}=2\left( C_{20}^{0}+C_{20}^{2}+C_{20}^{4}+...+C_{20}^{20} \right)\Leftrightarrow 2\left( S+1 \right)={{2}^{20}}\Leftrightarrow S={{2}^{19}}-1.$
Khi đó tổng số tập hợp con khác rỗng mà có số phần tử chẵn là $S=C_{20}^{2}+C_{20}^{4}+...+C_{20}^{20}.$
Xét ${{\left( 1+x \right)}^{20}}=C_{20}^{0}+C_{20}^{1}x+C_{20}^{2}{{x}^{2}}+...+C_{20}^{20}{{x}^{20}}.$
Cho $x=1,$ ta được ${{2}^{20}}=C_{20}^{0}+C_{20}^{1}+C_{20}^{2}+...+C_{20}^{20}\left( 1 \right)$
Cho $x=-1,$ ta được $0=C_{20}^{0}-C_{20}^{1}+C_{20}^{2}-...+C_{20}^{20}\left( 2 \right).$
Công vế theo vế (1) và (2), ta được
${{2}^{20}}=2\left( C_{20}^{0}+C_{20}^{2}+C_{20}^{4}+...+C_{20}^{20} \right)\Leftrightarrow 2\left( S+1 \right)={{2}^{20}}\Leftrightarrow S={{2}^{19}}-1.$
Đáp án B.