Google
Câu hỏi: Cho tam giác vuông cân $ABC$ có $AB=BC=a\sqrt{2}$. Khi quay tam giác $ABC$ quanh đường thẳng đi qua $B$ và song song với $AC$ ta thu được một khối tròn xoay có thể tích bằng
A. $2\pi {{a}^{3}}$.
B. $\frac{2\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\frac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$.
D. $\pi {{a}^{3}}$.
Từ giả thiết suy ra tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có $AB=BC=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow AC=2a$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ $\Rightarrow BM=\frac{AC}{2}=a$.
Thể tích khối tròn xoay cần tính là $V={{V}_{1}}-2{{V}_{2}}$ với ${{V}_{1}}$ là thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính đáy là ${{r}_{1}}=BM=a$ và chiều cao ${{h}_{1}}=AC=2a$ ; ${{V}_{2}}$ là thể tích khối nón tròn xoay có bán kính đáy là ${{r}_{2}}=BM=a$, chiều cao ${{h}_{2}}=\frac{CA}{2}=a$.
Ta có ${{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\pi .r_{1}^{2}.{{h}_{1}}-\frac{1}{3}\pi .r_{2}^{2}.{{h}_{2}}=\pi .{{a}^{2}}.2a-\frac{1}{3}\pi .{{a}^{2}}.a=\frac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$.
A. $2\pi {{a}^{3}}$.
B. $\frac{2\pi {{a}^{3}}}{3}$.
C. $\frac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$.
D. $\pi {{a}^{3}}$.
Từ giả thiết suy ra tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có $AB=BC=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow AC=2a$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ $\Rightarrow BM=\frac{AC}{2}=a$.
Thể tích khối tròn xoay cần tính là $V={{V}_{1}}-2{{V}_{2}}$ với ${{V}_{1}}$ là thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính đáy là ${{r}_{1}}=BM=a$ và chiều cao ${{h}_{1}}=AC=2a$ ; ${{V}_{2}}$ là thể tích khối nón tròn xoay có bán kính đáy là ${{r}_{2}}=BM=a$, chiều cao ${{h}_{2}}=\frac{CA}{2}=a$.
Ta có ${{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\pi .r_{1}^{2}.{{h}_{1}}-\frac{1}{3}\pi .r_{2}^{2}.{{h}_{2}}=\pi .{{a}^{2}}.2a-\frac{1}{3}\pi .{{a}^{2}}.a=\frac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án C.