Cho tam giác vuông cân ABC có $Ab=BC=a\sqrt{2}$. Khi quay tam giác ABC quanh đường thẳng đi qua B và song song với AC ta thu được một khoảng tròn...

Phương pháp:
Sử dụng các công thức sau:
- Thể tích khối trụ có chiều cao h, bán kính đáy r là $V=\pi {{r}^{2}}h$
- Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r là $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$
Cách giải:

Gọi H là trung điểm của $AC\Rightarrow BH\bot AC$ (do tam giác ABC vuông cân tại B)
Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích khối trụ có chiều cao ${{h}_{1}}=AC,$ bán kính đáy ${{r}_{1}}=BH$
Gọi ${{V}_{2}}$ là thể tích khối trụ có chiều cao ${{h}_{2}}=AH,$ bán kính đáy ${{r}_{2}}=BH$
Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh bởi tam giác ABC khi quay quanh đường thẳng d đi qua B và song song với AC là $V={{V}_{1}}-2{{V}_{2}}$
Do tam giác ABC vuông cân tại B có $AB=BC=a\sqrt{2}\Rightarrow AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}.\sqrt{2}=2a$
$\Rightarrow BH=\dfrac{1}{2}AC=AH=a$
Khi đó ta có: ${{V}_{1}}=\pi r_{1}^{2}{{h}_{1}}=\pi .a.2a=2\pi {{a}^{3}},{{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{a}^{2}}.a=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}$
Vậy $V={{V}_{1}}-2{{V}_{2}}=2\pi {{a}^{3}}-\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}=\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$