Google
Câu hỏi: Cho tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$, có $OA=4$. Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ ( $M$ không trùng với $A$, $B$ ) và gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $OA$. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay tam giác $OMH$ quanh $OA$.
A. $\dfrac{128\pi }{81}$.
B. $\dfrac{81\pi }{256}$.
C. $\dfrac{256\pi }{81}$.
D. $\dfrac{64\pi }{81}$.
Đặt $h=OH$, $0<h<4$.
Khi quay tam giác $OMH$ quanh $OA$, ta được hình nón đỉnh $O$ chiều cao $h$ bán kính đáy $r=HM$.
Ta có $HM \text{//} OB$ nên $\dfrac{AH}{AO}=\dfrac{HM}{OB}$ $\Rightarrow \dfrac{4-h}{4}=\dfrac{r}{4}$ $\Rightarrow r=4-h$.
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$ $=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( 4-h \right)}^{2}}.h$ $=\dfrac{1}{6}\pi \left( 4-h \right)\left( 4-h \right).2h$ $\le \dfrac{1}{6}\pi {{\left( \dfrac{4-h+4-h+2h}{3} \right)}^{3}}$ $=\dfrac{256\pi }{81}$.
Vậy ${{V}_{\max }}=\dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{256}{27}$ $=\dfrac{256\pi }{81}$.
A. $\dfrac{128\pi }{81}$.
B. $\dfrac{81\pi }{256}$.
C. $\dfrac{256\pi }{81}$.
D. $\dfrac{64\pi }{81}$.
Khi quay tam giác $OMH$ quanh $OA$, ta được hình nón đỉnh $O$ chiều cao $h$ bán kính đáy $r=HM$.
Ta có $HM \text{//} OB$ nên $\dfrac{AH}{AO}=\dfrac{HM}{OB}$ $\Rightarrow \dfrac{4-h}{4}=\dfrac{r}{4}$ $\Rightarrow r=4-h$.
$V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$ $=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( 4-h \right)}^{2}}.h$ $=\dfrac{1}{6}\pi \left( 4-h \right)\left( 4-h \right).2h$ $\le \dfrac{1}{6}\pi {{\left( \dfrac{4-h+4-h+2h}{3} \right)}^{3}}$ $=\dfrac{256\pi }{81}$.
Vậy ${{V}_{\max }}=\dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{256}{27}$ $=\dfrac{256\pi }{81}$.
Đáp án C.