Google
Câu hỏi: Cho tam giác đều ABC có đường tròn nội tiếp $\left( O;r \right)$, cắt bỏ phần hình tròn và cho hình phẳng thu được quay quanh AO . Tính thể tích khối tròn xoay thu được theo r .
A. $\dfrac{5}{3}\pi {{r}^{3}}$
B. $\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}.$
C. $\pi {{r}^{3}}\sqrt{3}$
D. $\pi {{r}^{3}}$
A. $\dfrac{5}{3}\pi {{r}^{3}}$
B. $\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}.$
C. $\pi {{r}^{3}}\sqrt{3}$
D. $\pi {{r}^{3}}$
Lời giải
Gọi H là chân đường cao AH của tam giác ABC
Vì tam giác ABC đều nên ta có: $AH=3OH=3r,AH=BC\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow BC=\dfrac{2}{\sqrt{3}}AH=r2\sqrt{3}$
Khi quay tam giác ABC quanh trục AO ta được hình nón có thể tích là: ${{V}_{N}}$, có đáy là đường tròn đường kính BC khi đó: ${{S}_{N}}=\pi H{{C}^{2}}=\pi {{r}^{2}}3$, chiều cao của hình nón là: $AH=3r$, khi đó thể tích hình nón là:
${{V}_{N}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{N}}=\dfrac{1}{3}3r.\pi {{r}^{2}}3=3\pi {{r}^{2}}$ (đvtt)
Thể tích khối cầu khi quay hình tròn $\left( O;r \right)$ quanh trục AO là: ${{V}_{C}}=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}$
Vậy thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay tam giác ABC đã cắt bỏ phần hình tròn quanh trục AO là: $V={{V}_{N}}-{{V}_{C}}=3\pi {{r}^{3}}-\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\dfrac{5}{3}\pi {{r}^{3}}$
Gọi H là chân đường cao AH của tam giác ABC
Vì tam giác ABC đều nên ta có: $AH=3OH=3r,AH=BC\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow BC=\dfrac{2}{\sqrt{3}}AH=r2\sqrt{3}$
Khi quay tam giác ABC quanh trục AO ta được hình nón có thể tích là: ${{V}_{N}}$, có đáy là đường tròn đường kính BC khi đó: ${{S}_{N}}=\pi H{{C}^{2}}=\pi {{r}^{2}}3$, chiều cao của hình nón là: $AH=3r$, khi đó thể tích hình nón là:
${{V}_{N}}=\dfrac{1}{3}AH.{{S}_{N}}=\dfrac{1}{3}3r.\pi {{r}^{2}}3=3\pi {{r}^{2}}$ (đvtt)
Thể tích khối cầu khi quay hình tròn $\left( O;r \right)$ quanh trục AO là: ${{V}_{C}}=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}$
Vậy thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay tam giác ABC đã cắt bỏ phần hình tròn quanh trục AO là: $V={{V}_{N}}-{{V}_{C}}=3\pi {{r}^{3}}-\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\dfrac{5}{3}\pi {{r}^{3}}$
Đáp án D.