Google
Câu hỏi: Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,\widehat{BAC}={{135}^{0}}.$ Trên đường thẳng vuông góc với $\left( ABC \right)$ tại $A$ lấy điểm $S$ thỏa mãn $SA=a\sqrt{2}.$ Hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB,SC$ lần lượt là $M,N.$ Góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( AMN \right)$ là?
A. ${{75}^{0}}.$
B. ${{30}^{0}}.$
C. ${{45}^{0}}.$
D. ${{60}^{0}}.$
Trong mặt phẳng $\left( ABC \right)$ lấy điểm $D$ sao cho $\widehat{DBA}=\widehat{DCA}={{90}^{0}}.$
Dễ thấy $DC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow DC\bot AN$ lại có $AN\bot SC\Rightarrow AN\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AN\bot SD.$
Tương tự $AM\bot SD\Rightarrow SD\bot \left( AMN \right).$
Ta có tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD.$
$\Rightarrow AD=2.R=\dfrac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=a\sqrt{2}\Rightarrow \Delta SAD$ vuông cân tại $A\Rightarrow \widehat{DSA}={{45}^{0}}.$
Mà $SA\bot \left( ABC \right)$ và $SD\bot \left( AMN \right)\Rightarrow $ góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( AMN \right)$ là góc giữa $SA$ và $SD$ và bằng ${{45}^{0}}.$
A. ${{75}^{0}}.$
B. ${{30}^{0}}.$
C. ${{45}^{0}}.$
D. ${{60}^{0}}.$
Trong mặt phẳng $\left( ABC \right)$ lấy điểm $D$ sao cho $\widehat{DBA}=\widehat{DCA}={{90}^{0}}.$
Dễ thấy $DC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow DC\bot AN$ lại có $AN\bot SC\Rightarrow AN\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AN\bot SD.$
Tương tự $AM\bot SD\Rightarrow SD\bot \left( AMN \right).$
Ta có tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD.$
$\Rightarrow AD=2.R=\dfrac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=a\sqrt{2}\Rightarrow \Delta SAD$ vuông cân tại $A\Rightarrow \widehat{DSA}={{45}^{0}}.$
Mà $SA\bot \left( ABC \right)$ và $SD\bot \left( AMN \right)\Rightarrow $ góc giữa hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( AMN \right)$ là góc giữa $SA$ và $SD$ và bằng ${{45}^{0}}.$
Đáp án C.