Cho tam diện vuông $O.ABC$ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là $R$ và $r.$ Khi đó tỉ số $\dfrac{R}{r}$ đạt giá trị nhỏ nhất là...

Đặt $OA=a,OB=b,OC=c.$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ dựng trục đường tròn $\Delta $ ngoại tiếp tam giác $OBC,$ trên mặt phẳng $\left( OAM \right),$ kẻ đường trung trực của đoạn $OA$ cắt $\Delta $ tại $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $O.ABC.$
+) $OM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}},R=\sqrt{M{{I}^{2}}+O{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.$
+) Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC,$ suy ra:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AH \\
& BC\bot AO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( OAH \right)\Rightarrow BC\bot OH.$
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}\Rightarrow OH=\dfrac{bc}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\Rightarrow AH=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{b}^{2}}{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}}$
Suy ra ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}.\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}.$
+) Gọi $J$ là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp $O.ABC.$
Khi đó: $d\left( J;\left( OAB \right) \right)=d\left( J;\left( OBC \right) \right)=d\left( J;\left( OAC \right) \right)=d\left( J;\left( ABC \right) \right)=r.$
${{V}_{O.ABC}}={{V}_{J.ABC}}+{{V}_{J.OBC}}+{{V}_{J.AOC}}+{{V}_{J.ABO}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{6}abc=\dfrac{1}{3}r\left( {{S}_{\Delta ABC}}+{{S}_{\Delta OBC}}+{{S}_{\Delta AOC}}+{{S}_{\Delta ABO}} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}abc=r\left( \dfrac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}+\dfrac{1}{2}\left( ab+bc+ca \right) \right).$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{abc}\left( \sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}+ab+bc+ca \right).$
Suy ra: $\dfrac{R}{r}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{abc}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\left( \sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}+ab+bc+ca \right)$
$\ge \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{abc}.\sqrt{3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}\left( \sqrt{3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}.{{a}^{2}}{{c}^{2}}.{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}+3\sqrt[3]{ab.bc.ca} \right)$
$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{abc}.\sqrt{3}.\sqrt[3]{abc}\left( \sqrt{3}.\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}+3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}} \right)=\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3+\sqrt{27}}{2}.$
Vậy $P=a+b=30.$ Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.