Cho tam diện vuông $O.ABC$ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là $R$ và $r.$ Khi đó tỉ số ${\displaystyle \frac{R}{r}}$ đạt giá trị nhỏ nhất là...

Đặt $OA=a,OB=b,OC=c.$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC,$ dựng trục đường tròn $\mathrm{\Delta }$ ngoại tiếp tam giác $OBC,$ trên mặt phẳng $\left(OAM\right),$ kẻ đường trung trực của đoạn $OA$ cắt $\mathrm{\Delta }$ tại $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $O.ABC.$
+) $OM={\displaystyle \frac{1}{2}}BC={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{b^2+c^2},R=\sqrt{M{I}^2+O{M}^2}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$
+) Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC,$ suy ra:
$\{\begin{array}{rl}& BC\mathrm{\perp }AH\\ & BC\mathrm{\perp }AO\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(OAH\right)\Rightarrow BC\mathrm{\perp }OH.$
${\displaystyle \frac{1}{O{H}^2}}={\displaystyle \frac{1}{b^2}}+{\displaystyle \frac{1}{c^2}}\Rightarrow OH={\displaystyle \frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}}\Rightarrow AH=\sqrt{O{A}^2+O{H}^2}=\sqrt{a^2+{\displaystyle \frac{b^2{c}^2}{b^2+c^2}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}{\sqrt{b^2+c^2}}}}$
Suy ra $S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AH.BC={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}}{\sqrt{b^2+c^2}}}.\sqrt{b^2+c^2}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}.$
+) Gọi $J$ là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp $O.ABC.$
Khi đó: $d(J;\left(OAB\right))=d(J;\left(OBC\right))=d(J;\left(OAC\right))=d(J;\left(ABC\right))=r.$
$V_{O.ABC}=V_{J.ABC}+V_{J.OBC}+V_{J.AOC}+V_{J.ABO}\iff {\displaystyle \frac{1}{6}}abc={\displaystyle \frac{1}{3}}r(S_{\mathrm{\Delta }ABC}+S_{\mathrm{\Delta }OBC}+S_{\mathrm{\Delta }AOC}+S_{\mathrm{\Delta }ABO})$
$\iff {\displaystyle \frac{1}{2}}abc=r({\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(ab+bc+ca)).$
$\iff {\displaystyle \frac{1}{r}}={\displaystyle \frac{1}{abc}}(\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+ab+bc+ca).$
Suy ra: ${\displaystyle \frac{R}{r}}={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{1}{abc}}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}(\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+ab+bc+ca)$
$\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{1}{abc}}.\sqrt{3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}}(\sqrt{3\sqrt[3]{a^2{b}^2.a^2{c}^2.b^2{c}^2}}+3\sqrt[3]{ab.bc.ca})$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{1}{abc}}.\sqrt{3}.\sqrt[3]{abc}(\sqrt{3}.\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}+3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2})={\displaystyle \frac{3+3\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{3+\sqrt{27}}{2}}.$
Vậy $P=a+b=30.$ Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.