Google
Câu hỏi: Cho số thực dương $x$ bất kì và số thực dương $y\ne 1$ thỏa mãn: ${{x}^{\ln y-1}}.{{y}^{\sqrt{4-{{\ln }^{2}}x}}}=1.$ Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ${{\log }_{y}}x.$ Giá trị của $M.m$ bằng
A. $4\sqrt{2}$
B. $-4\sqrt{2}$
C. 4
D. $2\sqrt{2}$
A. $4\sqrt{2}$
B. $-4\sqrt{2}$
C. 4
D. $2\sqrt{2}$
Cách giải:
Với $x>0,y>0,y\ne 1$ ta có:
${{x}^{\ln y-1}}.{{y}^{\sqrt{4-{{\ln }^{2}}x}}}=1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{y}}{{x}^{\ln y-1}}+\sqrt{4-{{\ln }^{2}}x}=0$
$\Leftrightarrow \left( \ln y-1 \right){{\log }_{y}}x+\sqrt{4-{{\ln }^{2}}x}=0$
$\Leftrightarrow \ln x-{{\log }_{y}}x+\sqrt{4-{{\ln }^{2}}x}=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{y}}x=\ln x+\sqrt{4-{{\ln }^{2}}x}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\ln x+\sqrt{4-{{\ln }^{2}}x},x>0,-2\le x\le 2.$
Đặt $t=\ln x,-2\le t\le 2.$ Xét hàm $f\left( t \right)=t+\sqrt{4-{{t}^{2}}}$ ta có $f'\left( t \right)=1-\dfrac{t}{\sqrt{4-{{t}^{2}}}}.$
Cho $f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 1-\dfrac{t}{\sqrt{4-{{t}^{2}}}}=0\Leftrightarrow \sqrt{4-{{t}^{2}}}=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\ge 0 \\
& t=\sqrt{2}\left( tm \right) \\
& t=-\sqrt{2}\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy:
$M=\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( \sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}\Rightarrow \ln x=\sqrt{2}\Leftrightarrow x={{e}^{\sqrt{2}}}\left( tm \right).$
$m=\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( -\sqrt{2} \right)=-2\Rightarrow \ln x=-2\Leftrightarrow x={{e}^{-2}}\left( tm \right).$
Vậy $M.m=2\sqrt{2}.\left( -2 \right)=-4\sqrt{2}.$
Với $x>0,y>0,y\ne 1$ ta có:
${{x}^{\ln y-1}}.{{y}^{\sqrt{4-{{\ln }^{2}}x}}}=1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{y}}{{x}^{\ln y-1}}+\sqrt{4-{{\ln }^{2}}x}=0$
$\Leftrightarrow \left( \ln y-1 \right){{\log }_{y}}x+\sqrt{4-{{\ln }^{2}}x}=0$
$\Leftrightarrow \ln x-{{\log }_{y}}x+\sqrt{4-{{\ln }^{2}}x}=0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{y}}x=\ln x+\sqrt{4-{{\ln }^{2}}x}$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\ln x+\sqrt{4-{{\ln }^{2}}x},x>0,-2\le x\le 2.$
Đặt $t=\ln x,-2\le t\le 2.$ Xét hàm $f\left( t \right)=t+\sqrt{4-{{t}^{2}}}$ ta có $f'\left( t \right)=1-\dfrac{t}{\sqrt{4-{{t}^{2}}}}.$
Cho $f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 1-\dfrac{t}{\sqrt{4-{{t}^{2}}}}=0\Leftrightarrow \sqrt{4-{{t}^{2}}}=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\ge 0 \\
& t=\sqrt{2}\left( tm \right) \\
& t=-\sqrt{2}\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy:
$M=\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( \sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}\Rightarrow \ln x=\sqrt{2}\Leftrightarrow x={{e}^{\sqrt{2}}}\left( tm \right).$
$m=\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( -\sqrt{2} \right)=-2\Rightarrow \ln x=-2\Leftrightarrow x={{e}^{-2}}\left( tm \right).$
Vậy $M.m=2\sqrt{2}.\left( -2 \right)=-4\sqrt{2}.$
Đáp án B.