Cho số phức $z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn...

Cách giải:
Ta có: $\left| z-2+i \right|=\left| \overline{z}+3-4i \right|\Rightarrow \left| z-2+yi+i \right|=\left| x+3-yi-4i \right|\Rightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}$
$\Rightarrow -4x+y+2y+1=6x+9+8y+16$
$\Rightarrow 10x+6y+20=0\Rightarrow 5x+3y=-10\left( 1 \right)$
Lại có: $z\left( 2+3i \right)+2y+1-\left( y+1 \right)i\Rightarrow \left( x+yi \right)\left( 2+3i \right)+2y+1-yi-i=2x+3xi+2yi-3y+2y+1-yi-i$
$=2x-y+1+i\left( 3x+y-1 \right)$
Mà $z\left( 2+3i \right)+2y+1-\left( y+1 \right)i$ là số thuần ảo nên $2x-y+1=0\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& 5x+3y=-10 \\
& 2x-y=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{13}{11} \\
& y=-\dfrac{15}{11} \\
\end{aligned} \right.$
Do đó: $11x+11y=-28$