Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\overline{z}. \left( \left( 1-2i \right)\left| z \right|-3+i \right)-2\sqrt{10}=0.$ Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P={{\left| z+5 \right|}^{2}}-{{\left| z+i \right|}^{2}}.$ Tìm mô đun của số phức $w=M+mi.$
A. $8\sqrt{31}$.
B. $8\sqrt{13}$.
C. $4\sqrt{26}$.
D. $8\sqrt{26}$.
A. $8\sqrt{31}$.
B. $8\sqrt{13}$.
C. $4\sqrt{26}$.
D. $8\sqrt{26}$.
Ta có;
$\overline{z}. \left( \left( 1-2i \right)\left| z \right|-3+i \right)-2\sqrt{10}=0\Leftrightarrow \left( 1-2i \right)\left| z \right|-3+i=\dfrac{2\sqrt{10}}{\overline{z}}\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-3 \right)+\left( 1-2\left| z \right| \right)i=\dfrac{2\sqrt{10}}{\overline{z}}.$
Lấy mô đun hai vế ta được:
$\sqrt{{{\left( \left| z \right|-3 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2\left| z \right| \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{\overline{\left| z \right|}}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( \left| z \right|-3 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2\left| z \right| \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{\left| z \right|}\Leftrightarrow \left| z \right|=2.$
Gọi $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$.
$P={{\left| z+5 \right|}^{2}}-{{\left| z+i \right|}^{2}}={{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y+1 \right)}^{2}}=10x-2y+24.$
Áp dụng bất đẳng thứcB.N.K ta có:
${{\left( P-24 \right)}^{2}}={{\left( 10x-2y \right)}^{2}}\le \left( {{10}^{2}}+{{2}^{2}} \right).\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\Rightarrow {{\left( P-24 \right)}^{2}}\le 416\Leftrightarrow 24-4\sqrt{26}\le P\le 24+4\sqrt{26}.$
Vậy $M=24+4\sqrt{26}; m=24-4\sqrt{26}\Rightarrow \left| w \right|=\left| M+mi \right|=\sqrt{{{M}^{2}}+{{m}^{2}}}=8\sqrt{31}.$
$\overline{z}. \left( \left( 1-2i \right)\left| z \right|-3+i \right)-2\sqrt{10}=0\Leftrightarrow \left( 1-2i \right)\left| z \right|-3+i=\dfrac{2\sqrt{10}}{\overline{z}}\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-3 \right)+\left( 1-2\left| z \right| \right)i=\dfrac{2\sqrt{10}}{\overline{z}}.$
Lấy mô đun hai vế ta được:
$\sqrt{{{\left( \left| z \right|-3 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2\left| z \right| \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{\overline{\left| z \right|}}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( \left| z \right|-3 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2\left| z \right| \right)}^{2}}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{\left| z \right|}\Leftrightarrow \left| z \right|=2.$
Gọi $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$.
$P={{\left| z+5 \right|}^{2}}-{{\left| z+i \right|}^{2}}={{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-{{x}^{2}}-{{\left( y+1 \right)}^{2}}=10x-2y+24.$
Áp dụng bất đẳng thứcB.N.K ta có:
${{\left( P-24 \right)}^{2}}={{\left( 10x-2y \right)}^{2}}\le \left( {{10}^{2}}+{{2}^{2}} \right).\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\Rightarrow {{\left( P-24 \right)}^{2}}\le 416\Leftrightarrow 24-4\sqrt{26}\le P\le 24+4\sqrt{26}.$
Vậy $M=24+4\sqrt{26}; m=24-4\sqrt{26}\Rightarrow \left| w \right|=\left| M+mi \right|=\sqrt{{{M}^{2}}+{{m}^{2}}}=8\sqrt{31}.$
Đáp án A.