Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=1$. Gọi $M$ và $m$ lần...

Đặt $t=\left| z+1 \right|$ $\le \left| z \right|+1=2$ nên $t\in \left[ 0;2 \right]$.
Vì $\left| z \right|=1$ nên $z.\overline{z}=1$. Do đó, ta có:
$P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$ $=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+z.\overline{z} \right|$ $=\left| z+1 \right|+\left| z-1+\overline{z} \right|$.
Ta lại có ${{t}^{2}}={{\left| z+1 \right|}^{2}}=\left( z+1 \right).\overline{\left( z+1 \right)}$ $=\left( z+1 \right)\left( \overline{z}+1 \right)$ $=2+z+\overline{z}$.
Suy ra $z+\overline{z}={{t}^{2}}-2$.
Vậy $P=t+\left| {{t}^{2}}-3 \right|=f\left( t \right)$, với $t\in \left[ 0;2 \right]$. Dễ thấy $f\left( t \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$.
Ta có $f\left( t \right)=\left\{ \begin{matrix}
t+{{t}^{2}}-3 & \text{khi} & \sqrt{3}\le t\le 2 \\
t-{{t}^{2}}+3 & \text{khi} & 0\le t<\sqrt{3} \\
\end{matrix} \right.$.
Do đó ${f}'\left( t \right)=\left\{ \begin{matrix}
2t+1 & \text{khi} & \sqrt{3}\le t<2 \\
-2t+1 & \text{khi} & 0<t<\sqrt{3} \\
\end{matrix} \right. $, $ {f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$.
Ta có: $f\left( 0 \right)=3$, $f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{13}{4}$, $f\left( \sqrt{3} \right)=\sqrt{3}$, $f\left( 2 \right)=3$.
Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $M=\dfrac{13}{4}$ ; giá trị nhỏ nhất của $P$ là $m=\sqrt{3}$.
Khi đó $M.m=\dfrac{13\sqrt{3}}{4}$.