Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\left| z+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|=4$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=\left| z-2-2i \right|$. Đặt A = M + m . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $A\in \left( 34;6 \right)$
B. $A\in \left( 6;\sqrt{42} \right)$
C. $A\in \left( 2\sqrt{7};\sqrt{33} \right)$
D. $A\in \left( 4;3\sqrt{3} \right)$
A. $A\in \left( 34;6 \right)$
B. $A\in \left( 6;\sqrt{42} \right)$
C. $A\in \left( 2\sqrt{7};\sqrt{33} \right)$
D. $A\in \left( 4;3\sqrt{3} \right)$
Lời giải
Giả sử: $z=x+yi,(x,y\in \mathbb{R})\Rightarrow N\left( x;y \right)$ : điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy .
Ta có:
$\bullet \left| z+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|=4\Leftrightarrow x+y=2\Rightarrow N$ thuộc các cạnh của hình vuông BCDF (hình vẽ).
$\bullet P=z-2-2i\Rightarrow P={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\Rightarrow P=d\left( I;N \right)$ với $I\left( 2;2 \right)$
Từ hình ta có: $E\left( 1;1 \right)$
$M={{P}_{\max }}=ID=\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{5} $ và $m={{P}_{\min }}=IE=\sqrt{{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}$
Vậy, $A=M+m=2+2\sqrt{5}\in \left( \sqrt{34};6 \right).$
Giả sử: $z=x+yi,(x,y\in \mathbb{R})\Rightarrow N\left( x;y \right)$ : điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy .
Ta có:
$\bullet \left| z+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|=4\Leftrightarrow x+y=2\Rightarrow N$ thuộc các cạnh của hình vuông BCDF (hình vẽ).
$\bullet P=z-2-2i\Rightarrow P={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}\Rightarrow P=d\left( I;N \right)$ với $I\left( 2;2 \right)$
Từ hình ta có: $E\left( 1;1 \right)$
$M={{P}_{\max }}=ID=\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{5} $ và $m={{P}_{\min }}=IE=\sqrt{{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}$
Vậy, $A=M+m=2+2\sqrt{5}\in \left( \sqrt{34};6 \right).$
Đáp án A.