Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-\overline{z} \right|+\left| z+\overline{z} \right|\le 6.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{\left| z-2+3i...

Gọi $z=x+yi,$ với $x,y\in \mathbb{R}$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng $Oxy$ là $M\left( x;y \right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi.$
Ta có $\left| z-\overline{z} \right|+\left| z+\overline{z} \right|\le 6\Leftrightarrow \left| 2x \right|+\left| 2y \right|\le 6\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+y\le 3,\text{ khi }x\ge 0,y\ge 0 \\
& -x-y\le 3,\text{ khi }x<0,y<0 \\
& x-y\le 3,\text{ khi }x\ge 0,y<0 \\
& -x+y\le 3,\text{ khi }x<0,y\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$.

Ta có $P={{\left| z-2+3i \right|}^{2}}+{{\left| z+4-13i \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}},$ với $A\left( 2;-3 \right),B\left( -4;13 \right).$
Gọi $I\left( -1;5 \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$
Suy ra $P=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}.$
Biểu thức $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $IM$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow IM=IE=\sqrt{5}.$
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm $2.{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{9+64} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{9+64} \right)}^{2}}=156.$