Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left( z-2+i \right)\left( \overline{z}-2-i \right)=25$. Biết tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $w=2\overline{z}-2+3i$ là đường tròn tâm $I\left( a;b \right)$ và bán kính $c$. Giá trị của $a+b+c$ bằng
A. $20$.
B. $10$.
C. $18$.
D. $17$.
A. $20$.
B. $10$.
C. $18$.
D. $17$.
Gọi điểm $M(x ; y)$ là điểm biểu diễn số phức $\mathrm{w}=x+y i,(x, y \in \mathbb{R})$.
$\Rightarrow x+y i=2 \bar{z}-2+3 i \Leftrightarrow \bar{z}=\dfrac{x+2}{2}+\dfrac{y-3}{2} i$.
Khi đó $(z-2+i)(\bar{z}-2-i)=\left(\dfrac{x+2}{2}-\dfrac{y-3}{2} i-2+i\right)\left(\dfrac{x+2}{2}+\dfrac{y-3}{2} i-2-i\right)$
$=\dfrac{1}{4}[x+2-(y-3) i-4+2 i][x+2+(y-3) i-4-2 i]$
$
=\dfrac{1}{4}[x-2-(y-5) i][x-2+(y-5) i]=\dfrac{1}{4}\left[(x-2)^{2}-(y-5)^{2} i^{2}\right]=\dfrac{1}{4}\left[(x-2)^{2}+(y-5)^{2}\right] \text {. }
$
Từ giả thiết, suy ra $\dfrac{1}{4}\left[(x-2)^{2}+(y-5)^{2}\right]=25 \Leftrightarrow(x-2)^{2}+(y-5)^{2}=100$.
$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm $M(x ; y)$ biểu diễn số phức $\mathrm{w}=2 \bar{z}-2+3 i$ là đường tròn tâm $I(2 ; 5)$ và bán kính $c=10$.
Vậy $a+b+c=2+5+10=17$.
$\Rightarrow x+y i=2 \bar{z}-2+3 i \Leftrightarrow \bar{z}=\dfrac{x+2}{2}+\dfrac{y-3}{2} i$.
Khi đó $(z-2+i)(\bar{z}-2-i)=\left(\dfrac{x+2}{2}-\dfrac{y-3}{2} i-2+i\right)\left(\dfrac{x+2}{2}+\dfrac{y-3}{2} i-2-i\right)$
$=\dfrac{1}{4}[x+2-(y-3) i-4+2 i][x+2+(y-3) i-4-2 i]$
$
=\dfrac{1}{4}[x-2-(y-5) i][x-2+(y-5) i]=\dfrac{1}{4}\left[(x-2)^{2}-(y-5)^{2} i^{2}\right]=\dfrac{1}{4}\left[(x-2)^{2}+(y-5)^{2}\right] \text {. }
$
Từ giả thiết, suy ra $\dfrac{1}{4}\left[(x-2)^{2}+(y-5)^{2}\right]=25 \Leftrightarrow(x-2)^{2}+(y-5)^{2}=100$.
$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm $M(x ; y)$ biểu diễn số phức $\mathrm{w}=2 \bar{z}-2+3 i$ là đường tròn tâm $I(2 ; 5)$ và bán kính $c=10$.
Vậy $a+b+c=2+5+10=17$.
Đáp án D.