Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| \left( 2+i \right)\left( z-4 \right)+5i \right|=3\sqrt{5}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| z+1-2i \right|+\left| z-7+6i \right|$ bằng
A. $4+2\sqrt{13}$.
B. $8\sqrt{52}$.
C. $2\sqrt{53}$.
D. $2\sqrt{41}$.
Ta có: $\left| \left( 2+i \right)\left( z-4 \right)+5i \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 2+i \right|.\left| z-4+1+2i \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| z-3+2i \right|=3$
Gọi $z=x+yi, \left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9$
Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 3;-2 \right),R=3$
Ta có: $P=\left| z+1-2i \right|+\left| z-7+6i \right|=MA+MB$ với $A\left( -1;2 \right), B\left( 7;-6 \right)$
Gọi $H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow H\left( 3;-2 \right)\equiv I$
$P=MA+MB\le \sqrt{2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}$ hay $P\le \sqrt{4M{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{R}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2\sqrt{41}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $MA=MB\Leftrightarrow M$ là giao điểm của đường tròn $\left( C \right)$ và đường trung trực của $AB$.
A. $4+2\sqrt{13}$.
B. $8\sqrt{52}$.
C. $2\sqrt{53}$.
D. $2\sqrt{41}$.
Ta có: $\left| \left( 2+i \right)\left( z-4 \right)+5i \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 2+i \right|.\left| z-4+1+2i \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| z-3+2i \right|=3$
Gọi $z=x+yi, \left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9$
Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 3;-2 \right),R=3$
Ta có: $P=\left| z+1-2i \right|+\left| z-7+6i \right|=MA+MB$ với $A\left( -1;2 \right), B\left( 7;-6 \right)$
Gọi $H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow H\left( 3;-2 \right)\equiv I$
$P=MA+MB\le \sqrt{2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}$ hay $P\le \sqrt{4M{{H}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{R}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2\sqrt{41}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $MA=MB\Leftrightarrow M$ là giao điểm của đường tròn $\left( C \right)$ và đường trung trực của $AB$.
Đáp án D.