Google
Câu hỏi: Cho số phức z thỏa mãn $\dfrac{z+i}{z-i}$ là số thuần ảo. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là
A. Đường tròn tâm O, bán kính $R=1$.
B. Hình tròn tâm O, bán kính $R=1$ (kể cả biên).
C. Hình tròn tâm O, bán kính $R=1$ (không kể biên).
D. Đường tròn tâm O, bán kính $R=1$ bỏ đi một điểm $\left( 0;1 \right)$.
A. Đường tròn tâm O, bán kính $R=1$.
B. Hình tròn tâm O, bán kính $R=1$ (kể cả biên).
C. Hình tròn tâm O, bán kính $R=1$ (không kể biên).
D. Đường tròn tâm O, bán kính $R=1$ bỏ đi một điểm $\left( 0;1 \right)$.
Gọi $M\left( a,b \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z=a+bi (a,b\in \mathbb{R})$
Ta có: $\dfrac{z+i}{z-i}=\dfrac{a+(b+1)i}{a+(b-1)i}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1}{{{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}}+\dfrac{2ai}{{{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}}$
Để $\dfrac{z+i}{z-i}$ là số thuần ảo thì $\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1}{{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& a\ne 0,b\ne 1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $\dfrac{z+i}{z-i}=\dfrac{a+(b+1)i}{a+(b-1)i}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1}{{{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}}+\dfrac{2ai}{{{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}}$
Để $\dfrac{z+i}{z-i}$ là số thuần ảo thì $\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-1}{{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& a\ne 0,b\ne 1 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án D.