Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏ mãn $\left| 4z+3i \right|=\left| 4z-4+5i \right|.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| z+i \right|=\left| z-3i \right|.$
A. $\min P=2\sqrt{2}.$
B. $\min P=5\sqrt{2}.$
C. $\min P=2\sqrt{5}.$
D. $\min P=\sqrt{5}.$
A. $\min P=2\sqrt{2}.$
B. $\min P=5\sqrt{2}.$
C. $\min P=2\sqrt{5}.$
D. $\min P=\sqrt{5}.$
Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z=x+yi,$ với $x,y\in \mathbb{R}$
Ta có $\left| 4z+3i \right|=\left| 4z-4+5i \right|\Leftrightarrow \left| 4x+(y+3)i \right|=\left| (4x-4)+(y+5)i \right|$
$\Leftrightarrow 2x-y-2=0\Rightarrow M\in d:2x-y-2=0$
Khi đó $P=\left| z+i \right|=\left| z-3i \right|=MA+MB,$ với $A\left( 0;-1 \right),B\left( 0;3 \right)$
Nhận thấy $A,B$ cùng phía so với đường thẳng $d$ nên gọi ${A}'$ đối xứng với $A$ qua $d$ thì
$P=MA+MB=M{A}'+MB\ge {A}'B\Rightarrow {{P}_{\min }}={A}'B.$ Đẳng thức xảy ra khi ${A}',M,B$ thẳng hàng
Mặt khác gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với $d$ thì $\Delta :x+2y+2=0$
Gọi $H=d\cap \Delta $ thì $H\left( \dfrac{2}{5};-\dfrac{6}{5} \right)$ ;
Vì ${A}'$ đối xứng với $A$ qua $d$ nên $H$ là trung điểm $A{A}'$ nên ${A}'\left( \dfrac{4}{5};-\dfrac{7}{5} \right)$
Vậy ${{P}_{\min }}={A}'B=2\sqrt{5}.$
Ta có $\left| 4z+3i \right|=\left| 4z-4+5i \right|\Leftrightarrow \left| 4x+(y+3)i \right|=\left| (4x-4)+(y+5)i \right|$
$\Leftrightarrow 2x-y-2=0\Rightarrow M\in d:2x-y-2=0$
Khi đó $P=\left| z+i \right|=\left| z-3i \right|=MA+MB,$ với $A\left( 0;-1 \right),B\left( 0;3 \right)$
Nhận thấy $A,B$ cùng phía so với đường thẳng $d$ nên gọi ${A}'$ đối xứng với $A$ qua $d$ thì
$P=MA+MB=M{A}'+MB\ge {A}'B\Rightarrow {{P}_{\min }}={A}'B.$ Đẳng thức xảy ra khi ${A}',M,B$ thẳng hàng
Gọi $H=d\cap \Delta $ thì $H\left( \dfrac{2}{5};-\dfrac{6}{5} \right)$ ;
Vì ${A}'$ đối xứng với $A$ qua $d$ nên $H$ là trung điểm $A{A}'$ nên ${A}'\left( \dfrac{4}{5};-\dfrac{7}{5} \right)$
Vậy ${{P}_{\min }}={A}'B=2\sqrt{5}.$
Đáp án C.