Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thay đổi thỏa mãn $\left| z+1-i \right|=3$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=2\left| z-4+5i \right|+\left| z+1-7i \right|$ bằng $a\sqrt{b}$ (với $a, b$ là các số nguyên tố). Tính $S=a+b$ ?
A. $20$.
B. $18$.
C. $24$.
D. $17$.
A. $20$.
B. $18$.
C. $24$.
D. $17$.
Gọi $z=x+yi, \left( x, y \in \mathbb{R} \right)$.
Ta có:
$\left| z+1-i \right|=3\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=9 \left( C \right)$ ;
Suy ra, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $ \left( C \right)$, có tâm là $I\left( -1 ; 1 \right)$ và bán kính $R=3$.
Ta có:
$A=2\left| z-4+5i \right|+\left| z+1-7i \right|=2\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}}$
$=2\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}+3\left( {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}-9 \right)}$
$=2\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}}+\sqrt{4{{x}^{2}}+8x+4{{y}^{2}}-20y+29}$
$=2\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}}+2\sqrt{{{x}^{2}}+2x+{{y}^{2}}-10y+\dfrac{29}{4}}$
$=2\left( \sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}} \right)$.
Gọi $M\left( x ; y \right)\in \left( C \right)$.
$\Rightarrow A=2\left| z-4+5i \right|+\left| z+1-7i \right|=2MA+MB, A\left( 4 ; -5 \right); B\left( -1 ; 7 \right)$.
$\Rightarrow A=2MA+MB=2\left( MA+MC \right), C\left( -1 ; \dfrac{5}{2} \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{IC}=\left( 0 ; \dfrac{3}{2} \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{IC} \right|=\dfrac{3}{2}<{{R}_{\left( C \right)}}$.
Suy ra, điểm $C$ nằm trong đường tròn $\left( C \right)$.
Vậy, đường thẳng $AC$ cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại hai điểm.
Do đó, để $A=2\left( MA+MC \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $M$ phải nằm giữa hai điểm $A$ và $C$.
$\Rightarrow A=2\left( MA+MC \right)\ge 2AC, AC=\dfrac{5\sqrt{13}}{2}$.
$\Rightarrow A\ge 5\sqrt{13}=a\sqrt{b}$.
Vậy, $a+b=18$.
Ta có:
$\left| z+1-i \right|=3\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=9 \left( C \right)$ ;
Suy ra, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $ \left( C \right)$, có tâm là $I\left( -1 ; 1 \right)$ và bán kính $R=3$.
Ta có:
$A=2\left| z-4+5i \right|+\left| z+1-7i \right|=2\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}}$
$=2\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}+3\left( {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}-9 \right)}$
$=2\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}}+\sqrt{4{{x}^{2}}+8x+4{{y}^{2}}-20y+29}$
$=2\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}}+2\sqrt{{{x}^{2}}+2x+{{y}^{2}}-10y+\dfrac{29}{4}}$
$=2\left( \sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\dfrac{5}{2} \right)}^{2}}} \right)$.
$\Rightarrow A=2\left| z-4+5i \right|+\left| z+1-7i \right|=2MA+MB, A\left( 4 ; -5 \right); B\left( -1 ; 7 \right)$.
$\Rightarrow A=2MA+MB=2\left( MA+MC \right), C\left( -1 ; \dfrac{5}{2} \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{IC}=\left( 0 ; \dfrac{3}{2} \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{IC} \right|=\dfrac{3}{2}<{{R}_{\left( C \right)}}$.
Suy ra, điểm $C$ nằm trong đường tròn $\left( C \right)$.
Vậy, đường thẳng $AC$ cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại hai điểm.
Do đó, để $A=2\left( MA+MC \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $M$ phải nằm giữa hai điểm $A$ và $C$.
$\Rightarrow A=2\left( MA+MC \right)\ge 2AC, AC=\dfrac{5\sqrt{13}}{2}$.
$\Rightarrow A\ge 5\sqrt{13}=a\sqrt{b}$.
Vậy, $a+b=18$.
Đáp án B.