Google
Câu hỏi: Cho số phức $z=a+bi$ $\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\dfrac{z+2}{z+2i}$ là một số thuần ảo. Khi số phức $z$ có môđun nhỏ nhất, hãy tính $a+b$.
A. $a+b=0$.
B. $a+b=2\sqrt{2}-1$.
C. $a+b=4$.
D. $a+b=2\sqrt{2}$.
A. $a+b=0$.
B. $a+b=2\sqrt{2}-1$.
C. $a+b=4$.
D. $a+b=2\sqrt{2}$.
Ta có $z=a+bi, a,b\in \mathbb{R}$. Gọi $M\left( a;b \right)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z$.
Có $\text{w}=\dfrac{z+2}{z+2i}=\dfrac{a+2+bi}{a+\left( b+2 \right)i}$ $=\dfrac{\left( a+2+bi \right)\left[ a-\left( b+2 \right)i \right]}{{{a}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{a\left( a+2 \right)+b\left( b+2 \right)+\left[ -\left( a+2 \right)\left( b+2 \right)+ab \right]i}{{{a}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}$
$\text{w}$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\left( a+2 \right)+b\left( b+2 \right)=0 \left( 1 \right) \\
& {{a}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a+2b=0$.
Suy ra $M$ thuộc đường tròn tâm $I\left( -1;-1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.
Vì đường tròn đi qua gốc tọa độ nên khi số phức $z$ có môđun nhỏ nhất thì điểm $M\left( a;b \right)$ trùng gốc tọa độ. Vậy $a+b=0$.
Có $\text{w}=\dfrac{z+2}{z+2i}=\dfrac{a+2+bi}{a+\left( b+2 \right)i}$ $=\dfrac{\left( a+2+bi \right)\left[ a-\left( b+2 \right)i \right]}{{{a}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{a\left( a+2 \right)+b\left( b+2 \right)+\left[ -\left( a+2 \right)\left( b+2 \right)+ab \right]i}{{{a}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}}$
$\text{w}$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\left( a+2 \right)+b\left( b+2 \right)=0 \left( 1 \right) \\
& {{a}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a+2b=0$.
Suy ra $M$ thuộc đường tròn tâm $I\left( -1;-1 \right)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.
Vì đường tròn đi qua gốc tọa độ nên khi số phức $z$ có môđun nhỏ nhất thì điểm $M\left( a;b \right)$ trùng gốc tọa độ. Vậy $a+b=0$.
Đáp án A.