Cho số phức $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}}$ và...

Phương pháp:
- Thay $z=a+bi$ vào biểu thức $4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}},$ từ đó tìm mối liên hệ giữa $a,b$ và tìm điều kiện của $b.$ - Tính $\left| z-\dfrac{1}{2}+3i \right|$ theo $b.$ - S? D? Ng phuong pháp hàm s? D? Tìm GTNN c? A bi? U th? C.
Cách gi? I:
Ta có: $z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi.$
Khi đó:
$4\left( z-\overline{z} \right)-15i=i{{\left( z+\overline{z}-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 4\left( a+bi-a+bi \right)-15i=i{{\left( a+bi+a-bi-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 8b-15={{\left( 2a-1 \right)}^{2}}$
Do ${{\left( 2a-1 \right)}^{2}}\ge 0\forall a$ nên $8b-15\ge 0\Leftrightarrow b\ge \dfrac{15}{8}.$
Ta có
$\left| z-\dfrac{1}{2}+3i \right|=\left| \left( a-\dfrac{1}{2} \right)+\left( b+3 \right)i \right|$
$=\sqrt{{{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2b+6 \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{1}{2}\sqrt{8a-15+{{\left( 2b+6 \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{1}{2}\sqrt{4{{b}^{2}}+32b+21}\left( b\ge \dfrac{15}{8} \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=4{{x}^{2}}+32x+21$ với $x\ge \dfrac{15}{8}$ ta có $f'\left( x \right)=8x+32>0,\forall x\ge \dfrac{15}{8}.$
$\Rightarrow$ Hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left[ \dfrac{15}{8};+\infty \right),$ do đó $f\left( x \right)\ge f\left( \dfrac{15}{8} \right)=\dfrac{1521}{16}.$
Khi đó $\min \left| z-\dfrac{1}{2}+3i \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1521}{16}}=\dfrac{39}{8}\Leftrightarrow b=\dfrac{15}{8}\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}.$
Vậy khi môđun của số phức $z-\dfrac{1}{2}+3i$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $\dfrac{a}{4}+b=\dfrac{1}{8}+\dfrac{15}{8}=2.$