Google
Câu hỏi: Cho số phức ${{z}_{1}}$ thoả mãn ${{\left| {{z}_{1}}-2 \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{1}}+1 \right|}^{2}}=1$ và số phức ${{z}_{2}}$ thoả mãn $\left| {{z}_{2}}-4-i \right|=\sqrt{5}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$.
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
B. $\sqrt{5}$.
C. $2\sqrt{5}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$.
A. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
B. $\sqrt{5}$.
C. $2\sqrt{5}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$.
- Gọi điểm ${M\left(x_1 ; y_1\right)}$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i\quad \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}}\in \mathbb{R} \right)$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Theo đề bài, ta có: ${\left|z_1-2\right|^2-\left|z_1+i\right|^2=1 \Leftrightarrow\left(x_1-2\right)^2+y_1^2-\left[x_1^2+\left(y_1+1\right)^2\right]=1}$
${\Leftrightarrow 2 x_1+y_1-1=0}$
Vậy tập hợp điểm ${M\left(x_1 ; y_1\right)}$ là đường thẳng ${\Delta: 2 x+y-1=0}$.
- Gọi điểm ${N\left(x_2 ; y_2\right)}$ là điểm biểu diễn số phức ${z_2=x_2+y_2 i\left(x_2, y_2 \in \mathbb{R}\right)}$ trong mặt phẳng tọa độ ${O x y}$.
Theo đề bài, ta có: ${\left|z_2-4-i\right|=\sqrt{5} \Leftrightarrow\left(x_2-4\right)^2+\left(y_2-1\right)^2=5}$.
Do đó, tập hợp điểm ${N\left(x_2 ; y_2\right)}$ là đường tròn ${
C. } $ có tâm $ {I(4 ; 1)} $ và bán kính $ {R=\sqrt{5}}$.
- Ta có ${\left|z_1-z_2\right|=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}=M N}$.
Gọi hình chiếu của điểm ${I}$ lên đường thẳng ${\Delta: 2 x+y-1=0}$ là ${H}$ và ${K=I H \cap
C. }$.
Nhận xét: ${M N \geq K H}$ mà ${K H=I H-I K=d(I, \Delta)-R=\dfrac{|2.4+1-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}-\sqrt{5}=\dfrac{8}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}=\dfrac{3 \sqrt{5}}{5}}$.
Dựa vào hình vẽ, ta thấy: ${\left|z_1-z_2\right|}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi ${M N}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi
${M N=K H=\dfrac{3 \sqrt{5}}{5}}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của ${\left|z_1-z_2\right|}$ bằng ${z}$.
Theo đề bài, ta có: ${\left|z_1-2\right|^2-\left|z_1+i\right|^2=1 \Leftrightarrow\left(x_1-2\right)^2+y_1^2-\left[x_1^2+\left(y_1+1\right)^2\right]=1}$
${\Leftrightarrow 2 x_1+y_1-1=0}$
Vậy tập hợp điểm ${M\left(x_1 ; y_1\right)}$ là đường thẳng ${\Delta: 2 x+y-1=0}$.
- Gọi điểm ${N\left(x_2 ; y_2\right)}$ là điểm biểu diễn số phức ${z_2=x_2+y_2 i\left(x_2, y_2 \in \mathbb{R}\right)}$ trong mặt phẳng tọa độ ${O x y}$.
Theo đề bài, ta có: ${\left|z_2-4-i\right|=\sqrt{5} \Leftrightarrow\left(x_2-4\right)^2+\left(y_2-1\right)^2=5}$.
Do đó, tập hợp điểm ${N\left(x_2 ; y_2\right)}$ là đường tròn ${
C. } $ có tâm $ {I(4 ; 1)} $ và bán kính $ {R=\sqrt{5}}$.
- Ta có ${\left|z_1-z_2\right|=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}=M N}$.
Gọi hình chiếu của điểm ${I}$ lên đường thẳng ${\Delta: 2 x+y-1=0}$ là ${H}$ và ${K=I H \cap
C. }$.
Nhận xét: ${M N \geq K H}$ mà ${K H=I H-I K=d(I, \Delta)-R=\dfrac{|2.4+1-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}-\sqrt{5}=\dfrac{8}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}=\dfrac{3 \sqrt{5}}{5}}$.
Dựa vào hình vẽ, ta thấy: ${\left|z_1-z_2\right|}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi ${M N}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi
${M N=K H=\dfrac{3 \sqrt{5}}{5}}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của ${\left|z_1-z_2\right|}$ bằng ${z}$.
Đáp án D.