Google
Câu hỏi: Cho số phức $w$ và hai số thực $a,b.$ Biết rằng $w+i$ và $2w-1$ là hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0.$ Tính giá trị của biểu thức $P=a+b.$
A. $P=\dfrac{5}{9}.$
B. $P=-\dfrac{1}{9}.$
C. $P=\dfrac{1}{9}.$
D. $P=-\dfrac{5}{9}.$
A. $P=\dfrac{5}{9}.$
B. $P=-\dfrac{1}{9}.$
C. $P=\dfrac{1}{9}.$
D. $P=-\dfrac{5}{9}.$
Do phương trình không có nghiệm thực nên $w+i$ và $2w-1$ liên hợp với nhau
$
\Leftrightarrow \overline{w+i}=2 w-1 \Leftrightarrow \bar{w}-i=2 w-1 \Leftrightarrow 2 w-\bar{w}=1-i \text { (1) }
$
Gọi $w=c+d i,(c ; d \in \mathbb{R})$ thay vào (1) ta giải được: $w=1-\dfrac{1}{3} i$.
Vậy phương trình có hai nghiệm là:
$
\left\{\begin{array}{l}
z_{1}=w+i=1+\dfrac{2}{3} i \\
z_{2}=2 w-1=1-\dfrac{2}{3} i
\end{array}\right.
$
Theo định lí Viet: $\left\{\begin{array}{l}z_{1}+z_{2}=-a \\ z_{1} z_{2}=b\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-2 \\ b=\dfrac{13}{9}\end{array}\right.\right.$. Suy ra: $P=a+b=-\dfrac{5}{9}$.
$
\Leftrightarrow \overline{w+i}=2 w-1 \Leftrightarrow \bar{w}-i=2 w-1 \Leftrightarrow 2 w-\bar{w}=1-i \text { (1) }
$
Gọi $w=c+d i,(c ; d \in \mathbb{R})$ thay vào (1) ta giải được: $w=1-\dfrac{1}{3} i$.
Vậy phương trình có hai nghiệm là:
$
\left\{\begin{array}{l}
z_{1}=w+i=1+\dfrac{2}{3} i \\
z_{2}=2 w-1=1-\dfrac{2}{3} i
\end{array}\right.
$
Theo định lí Viet: $\left\{\begin{array}{l}z_{1}+z_{2}=-a \\ z_{1} z_{2}=b\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-2 \\ b=\dfrac{13}{9}\end{array}\right.\right.$. Suy ra: $P=a+b=-\dfrac{5}{9}$.
Đáp án D.