Google
Câu hỏi: Cho số phức $w=\dfrac{4+iz}{1+z}$, biết các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=\sqrt{2}.$ Tìm giá trị lớn nhất của $\left| w \right|$
A. $\sqrt{20}$
B. $\sqrt{20}+\sqrt{34}$.
C. $\sqrt{34}$
D. $\sqrt{34}-\sqrt{20}$
A. $\sqrt{20}$
B. $\sqrt{20}+\sqrt{34}$.
C. $\sqrt{34}$
D. $\sqrt{34}-\sqrt{20}$
Phương pháp:
Áp dụng công thức tính modun số phức.
Cách giải:
Ta có
$w=\dfrac{4+iz}{1+z}\Leftrightarrow w\left( 1+z \right)=4+iz$
$\Leftrightarrow \left( w-i \right)z=4-w$
$\Rightarrow \sqrt{2}\left| w-i \right|=\left| 4-w \right|$
Đặt $w=x+yi$
Ta có $\sqrt{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8x-4y-14=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=34$
Do đó quỹ tích của số phức $w$ là đường tròn tâm $I\left( 4;-2 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{34}$
Khi đó giá trị lớn nhất của $\left| w \right|$ là: $OI+R=\sqrt{34}+\sqrt{20}$
Áp dụng công thức tính modun số phức.
Cách giải:
Ta có
$w=\dfrac{4+iz}{1+z}\Leftrightarrow w\left( 1+z \right)=4+iz$
$\Leftrightarrow \left( w-i \right)z=4-w$
$\Rightarrow \sqrt{2}\left| w-i \right|=\left| 4-w \right|$
Đặt $w=x+yi$
Ta có $\sqrt{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8x-4y-14=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=34$
Do đó quỹ tích của số phức $w$ là đường tròn tâm $I\left( 4;-2 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{34}$
Khi đó giá trị lớn nhất của $\left| w \right|$ là: $OI+R=\sqrt{34}+\sqrt{20}$
Đáp án B.