Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{x}^{{{\log }_{2020}}\left( {{x}^{3}} \right)-a}}=2021$ với $a$ là số thực dương. Biết tích các nghiệm của phương trình là 32. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $1\le a\le 2$
B. $3\le a\le 4$
C. $4<a\le 5$
D. $2\le a<3$
A. $1\le a\le 2$
B. $3\le a\le 4$
C. $4<a\le 5$
D. $2\le a<3$
Phương pháp:
- Lấy logarit cơ số 2020 cả hai vế của phương trình.
- Đặt ẩn phụ $t={{\log }_{2020}}x,$ đưa về phương trình bậc hai ẩn $t.$
- Sử dụng định lí Vi-ét.
Cách giải:
ĐKXĐ: $x>0.$
Lấy logarit cơ số 2020 cả hai vế của phương trình ${{x}^{{{\log }_{2020}}\left( {{x}^{3}} \right)-a}}=2021$ ta được:
${{\log }_{2020}}\left( {{x}^{{{\log }_{2020}}\left( {{x}^{3}} \right)-a}} \right)={{\log }_{2020}}2021$
$\Leftrightarrow \left[ {{\log }_{2020}}\left( {{x}^{3}} \right)-a \right]{{\log }_{2020}}x={{\log }_{2020}}2021$
$\Leftrightarrow 3\log _{2020}^{2}x-a{{\log }_{2020}}x-{{\log }_{2020}}2021=0$
Đặt $t={{\log }_{2020}}x,$ phương trình trở thành $3{{t}^{2}}-at-{{\log }_{2020}}2021=0\left( * \right).$
Vì phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=32.$
Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn
${{t}_{1}}+{{t}_{2}}={{\log }_{2020}}{{x}_{1}}+{{\log }_{2020}}{{x}_{2}}={{\log }_{2020}}\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)={{\log }_{2020}}32.$
Áp dụng định lí Vi-ét ta có ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\dfrac{a}{3}={{\log }_{2020}}32\Leftrightarrow a=3.{{\log }_{2020}}32\approx 1,37.$
Vậy $1\le a\le 2.$
- Lấy logarit cơ số 2020 cả hai vế của phương trình.
- Đặt ẩn phụ $t={{\log }_{2020}}x,$ đưa về phương trình bậc hai ẩn $t.$
- Sử dụng định lí Vi-ét.
Cách giải:
ĐKXĐ: $x>0.$
Lấy logarit cơ số 2020 cả hai vế của phương trình ${{x}^{{{\log }_{2020}}\left( {{x}^{3}} \right)-a}}=2021$ ta được:
${{\log }_{2020}}\left( {{x}^{{{\log }_{2020}}\left( {{x}^{3}} \right)-a}} \right)={{\log }_{2020}}2021$
$\Leftrightarrow \left[ {{\log }_{2020}}\left( {{x}^{3}} \right)-a \right]{{\log }_{2020}}x={{\log }_{2020}}2021$
$\Leftrightarrow 3\log _{2020}^{2}x-a{{\log }_{2020}}x-{{\log }_{2020}}2021=0$
Đặt $t={{\log }_{2020}}x,$ phương trình trở thành $3{{t}^{2}}-at-{{\log }_{2020}}2021=0\left( * \right).$
Vì phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=32.$
Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn
${{t}_{1}}+{{t}_{2}}={{\log }_{2020}}{{x}_{1}}+{{\log }_{2020}}{{x}_{2}}={{\log }_{2020}}\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)={{\log }_{2020}}32.$
Áp dụng định lí Vi-ét ta có ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\dfrac{a}{3}={{\log }_{2020}}32\Leftrightarrow a=3.{{\log }_{2020}}32\approx 1,37.$
Vậy $1\le a\le 2.$
Đáp án A.