Cho phương trình $x^{{\log }_{2020}\left(x^3\right)-a}=2021$ với $a$ là số thực dương. Biết tích các nghiệm của phương trình là 32...

Phương pháp:
- Lấy logarit cơ số 2020 cả hai vế của phương trình.
- Đặt ẩn phụ $t={\log }_{2020}x,$ đưa về phương trình bậc hai ẩn $t.$
- Sử dụng định lí Vi-ét.
Cách giải:
ĐKXĐ: $x>0.$
Lấy logarit cơ số 2020 cả hai vế của phương trình $x^{{\log }_{2020}\left(x^3\right)-a}=2021$ ta được:
${\log }_{2020}\left(x^{{\log }_{2020}\left(x^3\right)-a}\right)={\log }_{2020}2021$
$\iff [{\log }_{2020}\left(x^3\right)-a]{\log }_{2020}x={\log }_{2020}2021$
$\iff 3{\log }_{2020}^{2}x-a{\log }_{2020}x-{\log }_{2020}2021=0$
Đặt $t={\log }_{2020}x,$ phương trình trở thành $3t^2-at-{\log }_{2020}2021=0(\ast ).$
Vì phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1{x}_2=32.$
Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $t_1,t_2$ thỏa mãn
$t_1+t_2={\log }_{2020}{x}_1+{\log }_{2020}{x}_2={\log }_{2020}\left(x_1{x}_2\right)={\log }_{2020}32.$
Áp dụng định lí Vi-ét ta có $t_1+t_2={\displaystyle \frac{a}{3}}={\log }_{2020}32\iff a=3.{\log }_{2020}32\approx 1,37.$
Vậy $1\le a\le 2.$