Google
Câu hỏi: Cho phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1-m=0\text{ }\left( 1 \right).$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có ba nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}.$
A. $m=-1$.
B. $-3<m<-1$.
C. $-3\le m\le -1$.
D. $-1<m<3$.
A. $m=-1$.
B. $-3<m<-1$.
C. $-3\le m\le -1$.
D. $-1<m<3$.
Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-6x\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:
Để phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1-m=0\text{ }\left( 1 \right).$ có 3 nghiệm phân biệt thì $-3<m<1$.
Từ ${{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}-1<0 \\
& {{x}_{2}}-1>0,{{x}_{3}}-1>0 \\
\end{aligned} \right.$ kết hợp định lí vi – et:
$\begin{aligned}
& \left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)\left( {{x}_{3}}-1 \right)<0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}-\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)+\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)-1<0 \\
& \text{ }\Leftrightarrow \left( m-1 \right)+3-1<0 \\
& \text{ }\Leftrightarrow m<-1 \\
\end{aligned}$
Kết hợp điều kiện ta được: $-3<m<-1$.
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên:
Từ ${{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}-1<0 \\
& {{x}_{2}}-1>0,{{x}_{3}}-1>0 \\
\end{aligned} \right.$ kết hợp định lí vi – et:
$\begin{aligned}
& \left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)\left( {{x}_{3}}-1 \right)<0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}-\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)+\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)-1<0 \\
& \text{ }\Leftrightarrow \left( m-1 \right)+3-1<0 \\
& \text{ }\Leftrightarrow m<-1 \\
\end{aligned}$
Kết hợp điều kiện ta được: $-3<m<-1$.
Đáp án B.