Google
Câu hỏi: Cho phương trình $\sqrt{\log _{3}^{2}x-4{{\log }_{3}}x-5}=m\left( {{\log }_{3}}x+1 \right)$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm thuộc $\left[ 27;+\infty \right).$
A. $0\le m<1.$
B. $0<m\le 2.$
C. $0\le m\le 1.$
D. $0<m<2.$
A. $0\le m<1.$
B. $0<m\le 2.$
C. $0\le m\le 1.$
D. $0<m<2.$
Vì $x\in \left[ 27;+\infty \right)\Rightarrow {{\log }_{3}}x\ge 3$
Đặt $t={{\log }_{3}}x\Rightarrow t\ge 3$ ta có: $\sqrt{{{t}^{2}}-4t-5}=m\left( t+1 \right)\text{ }\left( t\ge 3 \right)\Rightarrow m\ge 0.$
Khi đó ta có $\sqrt{{{t}^{2}}-4t-5}=m\left( t+1 \right)\Leftrightarrow \sqrt{\left( t+1 \right)\left( t-5 \right)}=m\left( t+1 \right)$
Vì $t\ge 3\Rightarrow t+1\ge 4\Rightarrow $ Từ điều kiện $\left( t-5 \right)\left( t+1 \right)\ge 0\Rightarrow t\ge 5$
Do đó $\sqrt{\left( t+1 \right)\left( t-5 \right)}=m\left( t+1 \right)\Leftrightarrow \left( t+1 \right)\left( t-5 \right)={{m}^{2}}{{\left( t+1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow t-5={{m}^{2}}\left( t+1 \right)\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-1 \right)t=-{{m}^{2}}-5\Leftrightarrow t=\dfrac{-{{m}^{2}}-5}{{{m}^{2}}-1}$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow t=\dfrac{-{{m}^{2}}-5}{{{m}^{2}}-1}\ge 5\Leftrightarrow \dfrac{-6{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}-1}\ge 0\Leftrightarrow -1<m<1.$
Kết hợp với điều kiện $m\ge 0\Rightarrow 0\le m<1.$
Đặt $t={{\log }_{3}}x\Rightarrow t\ge 3$ ta có: $\sqrt{{{t}^{2}}-4t-5}=m\left( t+1 \right)\text{ }\left( t\ge 3 \right)\Rightarrow m\ge 0.$
Khi đó ta có $\sqrt{{{t}^{2}}-4t-5}=m\left( t+1 \right)\Leftrightarrow \sqrt{\left( t+1 \right)\left( t-5 \right)}=m\left( t+1 \right)$
Vì $t\ge 3\Rightarrow t+1\ge 4\Rightarrow $ Từ điều kiện $\left( t-5 \right)\left( t+1 \right)\ge 0\Rightarrow t\ge 5$
Do đó $\sqrt{\left( t+1 \right)\left( t-5 \right)}=m\left( t+1 \right)\Leftrightarrow \left( t+1 \right)\left( t-5 \right)={{m}^{2}}{{\left( t+1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow t-5={{m}^{2}}\left( t+1 \right)\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-1 \right)t=-{{m}^{2}}-5\Leftrightarrow t=\dfrac{-{{m}^{2}}-5}{{{m}^{2}}-1}$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow t=\dfrac{-{{m}^{2}}-5}{{{m}^{2}}-1}\ge 5\Leftrightarrow \dfrac{-6{{m}^{2}}}{{{m}^{2}}-1}\ge 0\Leftrightarrow -1<m<1.$
Kết hợp với điều kiện $m\ge 0\Rightarrow 0\le m<1.$
Đáp án A.